Страница 37 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

105 Начертите прямую а и отметьте точки A и B, лежащие по разные стороны от прямой а. С помощью чертёжного угольника проведите из этих точек перпендикуляры к прямой а.

Для решения данной задачи необходимо выполнить последовательность геометрических построений с использованием линейки и чертёжного угольника.

1. С помощью линейки начертим произвольную прямую и обозначим её буквой a. Затем отметим точку А с одной стороны от прямой и точку В с другой стороны от прямой. Таким образом, точки А и В будут лежать по разные стороны от прямой a.

2. Для построения перпендикуляра из точки А к прямой a, возьмём чертёжный угольник. Приложим одну из его сторон, образующих прямой угол ($90^\circ$), к прямой a. Будем двигать угольник вдоль прямой a до тех пор, пока вторая его сторона, образующая прямой угол, не пройдёт через точку А. Удерживая угольник в этом положении, проведём вдоль этой стороны линию от точки А до пересечения с прямой a. Точку пересечения обозначим H₁. Полученный отрезок AH₁ является перпендикуляром к прямой a, что записывается как $AH_1 \perp a$.

3. Аналогичную процедуру выполним для точки В. Приложим угольник одной из сторон прямого угла к прямой a и будем перемещать его до тех пор, пока вторая сторона прямого угла не пройдёт через точку В. Проведём линию от точки В до пересечения с прямой a. Точку пересечения обозначим H₂. Полученный отрезок BH₂ является перпендикуляром к прямой a: $BH_2 \perp a$.

Результат построений показан на чертеже ниже.

На чертеже изображена прямая a, точки А и В по разные стороны от нее, и построенные перпендикуляры AH₁ и BH₂. Прямые углы в точках пересечения H₁ и H₂ отмечены специальными значками (квадратиками).

Ответ:

Построение перпендикуляров из точек А и В к прямой a выполнено с помощью чертёжного угольника. Для этого угольник прикладывается к прямой a и совмещается с каждой из точек, после чего проводятся перпендикулярные отрезки. Результат построения представлен на чертеже.

106 Начертите треугольник. С помощью масштабной линейки отметьте середины сторон и проведите медианы треугольника.

Для выполнения этого задания нужно последовательно выполнить три действия.

Начертите треугольник.

Нарисуйте на листе бумаги произвольный треугольник. Для удобства обозначьте его вершины буквами, например, $A$, $B$ и $C$. Стороны треугольника, соответственно, будут отрезками $AB$, $BC$ и $AC$.

С помощью масштабной линейки отметьте середины сторон.

Для нахождения середин сторон используется масштабная линейка:

• Приложите линейку к стороне $AB$ и измерьте ее длину. Разделите полученное значение на два. Отложите это расстояние от вершины $A$ (или $B$) вдоль стороны и отметьте точку. Обозначим эту точку $M_c$. Эта точка является серединой стороны $AB$, так как $AM_c = M_cB$.

• Аналогично измерьте длину стороны $BC$. Найдите ее половину и отметьте на стороне $BC$ точку $M_a$ так, чтобы $BM_a = M_aC$.

• Повторите процедуру для стороны $AC$. Измерьте ее длину, разделите пополам и отметьте точку $M_b$ так, чтобы $AM_b = M_bC$.

Проведите медианы треугольника.

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Соедините соответствующие точки:

• Проведите отрезок из вершины $A$ в точку $M_a$ (середину стороны $BC$). Полученный отрезок $AM_a$ является медианой.

• Проведите отрезок из вершины $B$ в точку $M_b$ (середину стороны $AC$). Отрезок $BM_b$ – вторая медиана.

• Проведите отрезок из вершины $C$ в точку $M_c$ (середину стороны $AB$). Отрезок $CM_c$ – третья медиана.

В результате на вашем чертеже будет изображен треугольник $ABC$ с тремя проведенными медианами ($AM_a$, $BM_b$, $CM_c$). Вы также можете заметить, что все три медианы пересекаются в одной точке.

Ответ: Выше приведено подробное пошаговое руководство по построению медиан в произвольном треугольнике с использованием масштабной линейки.

107 Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите его биссектрисы.

Начертите треугольник

Чтобы начертить произвольный треугольник, например, $\triangle ABC$, выполните следующие шаги:

1. С помощью линейки нарисуйте на листе бумаги отрезок. Обозначьте его концы буквами, например, A и B. Это будет первая сторона будущего треугольника.
2. Выберите любую точку C, которая не лежит на прямой, содержащей отрезок AB.
3. С помощью линейки соедините точку C с точками A и B. Вы получите отрезки AC и BC.

В результате этих действий у вас получится треугольник $\triangle ABC$.

Проведите его биссектрисы

Биссектриса угла — это луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных по величине угла. Чтобы провести биссектрисы для каждого из трех углов треугольника с помощью транспортира и линейки, следуйте инструкции:

1. Построение биссектрисы угла A ($\angle BAC$):
   • Приложите транспортир к вершине A так, чтобы его центр совпал с точкой A, а основание (нулевая отметка) — со стороной AC.
   • Измерьте градусную меру угла $\angle BAC$. Обозначим ее как $\alpha$.
   • Вычислите половину этого угла: $\frac{\alpha}{2}$.
   • На шкале транспортира найдите значение, равное $\frac{\alpha}{2}$, и поставьте в этом месте карандашом небольшую точку.
   • С помощью линейки проведите луч из вершины A через эту точку до пересечения с противоположной стороной BC. Полученный отрезок и будет биссектрисой угла A.
2. Построение биссектрисы угла B ($\angle ABC$):
   • Аналогично измерьте с помощью транспортира угол $\angle ABC$. Пусть его величина равна $\beta$.
   • Вычислите половину угла $\frac{\beta}{2}$ и проведите луч из вершины B под этим углом до пересечения со стороной AC.
3. Построение биссектрисы угла C ($\angle BCA$):
   • Повторите ту же процедуру для угла $\angle BCA$. Измерьте его величину (пусть это будет $\gamma$), найдите $\frac{\gamma}{2}$ и проведите луч из вершины C до пересечения со стороной AB.

Важное свойство: Если все построения выполнены точно, все три биссектрисы треугольника пересекутся в одной точке. Эта точка называется инцентром (центром вписанной в треугольник окружности) и ее наличие служит проверкой правильности построений.

Ответ: В результате выполнения описанных действий будет начерчен треугольник, в котором с помощью линейки и транспортира проведены три его биссектрисы. Все три биссектрисы пересекаются в одной точке внутри треугольника.

108 Начертите треугольник ABC с тремя острыми углами и треуголь ник MNP, у которого угол М тупой. С помощью чертёжного угольника проведите высоты каждого треугольника.

Треугольник ABC с тремя острыми углами

1. Сначала начертим остроугольный треугольник $ABC$. В таком треугольнике все три угла ($\angle A, \angle B, \angle C$) являются острыми, то есть их градусная мера меньше $90^\circ$.

2. Далее проведём три высоты с помощью чертёжного угольника. Высота треугольника — это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону.

- Высота из вершины A к стороне BC: Прикладываем одну из сторон прямого угла чертёжного угольника к стороне $BC$. Перемещаем угольник вдоль прямой $BC$ до тех пор, пока вторая сторона прямого угла не пройдёт через вершину $A$. Проводим отрезок из точки $A$ к стороне $BC$. Обозначим точку пересечения $H_1$. Отрезок $AH_1$ является высотой ($AH_1 \perp BC$).

- Высота из вершины B к стороне AC: Аналогичным образом прикладываем угольник к стороне $AC$ и проводим перпендикуляр из вершины $B$. Получаем высоту $BH_2$ ($BH_2 \perp AC$).

- Высота из вершины C к стороне AB: Повторяем процедуру для стороны $AB$ и вершины $C$, чтобы построить высоту $CH_3$ ($CH_3 \perp AB$).

В остроугольном треугольнике все три высоты находятся внутри самого треугольника и пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром.

Ответ: Построены три высоты $AH_1$, $BH_2$ и $CH_3$. В остроугольном треугольнике все высоты располагаются внутри него и пересекаются в одной точке.

Треугольник MNP, у которого угол M тупой

1. Начертим тупоугольный треугольник $MNP$, у которого угол при вершине $M$ — тупой (то есть $\angle M > 90^\circ$), а два других угла, $\angle N$ и $\angle P$, — острые.

2. Проведём высоты этого треугольника с помощью чертёжного угольника.

- Высота из вершины M (вершина тупого угла) к стороне NP: Прикладываем угольник к стороне $NP$ и проводим перпендикуляр из вершины $M$. Получим высоту $MH_1$ ($MH_1 \perp NP$). Эта высота всегда будет лежать внутри тупоугольного треугольника.

- Высота из вершины N (вершина острого угла) к стороне MP: Поскольку угол $\angle M$ тупой, перпендикуляр из вершины $N$ опустится не на отрезок $MP$, а на его продолжение. Для этого продлеваем сторону $MP$ за вершину $M$. Затем проводим перпендикуляр из точки $N$ к этой прямой. Получим высоту $NH_2$ ($NH_2 \perp MP$), которая будет лежать вне треугольника.

- Высота из вершины P (вершина острого угла) к стороне MN: Аналогично, продлеваем сторону $MN$ за вершину $M$. Опускаем перпендикуляр из вершины $P$ на продолжение стороны $MN$. Эта высота $PH_3$ ($PH_3 \perp MN$) также будет находиться вне треугольника.

В тупоугольном треугольнике только одна высота (проведённая из вершины тупого угла) лежит внутри. Две другие высоты (проведённые из вершин острых углов) лежат снаружи. При этом прямые, на которых лежат все три высоты, пересекаются в одной точке (ортоцентре), которая также находится вне треугольника.

Ответ: В тупоугольном треугольнике $MNP$ с тупым углом $M$ высота $MH_1$, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника, а высоты $NH_2$ и $PH_3$, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника и опущены на продолжения противолежащих сторон.

109 Начертите три равнобедренных треугольника так, чтобы угол, лежащий против основания, был:
а) острым; б) прямым; в) тупым.

а)

Чтобы начертить равнобедренный треугольник, у которого угол, лежащий против основания, является острым, необходимо, чтобы его градусная мера была больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB=BC$ — боковые стороны, а $AC$ — основание. Угол, лежащий против основания, — это угол $\angle B$. Углы при основании $\angle A$ и $\angle C$ равны. Сумма углов треугольника составляет $180^\circ$, следовательно, $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Учитывая, что $\angle A = \angle C$, получаем $2\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Выберем для угла $\angle B$ любое острое значение, например, $\angle B = 60^\circ$. В этом случае треугольник будет равносторонним, что является частным случаем равнобедренного.

Найдем углы при основании: $\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Для построения такого треугольника можно начертить отрезок $AC$ (основание), а затем от его концов отложить два угла по $60^\circ$. Точка пересечения их сторон будет вершиной $B$.

Ответ: Пример такого треугольника — равносторонний треугольник с углами $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$. Угол $60^\circ$, лежащий против основания, является острым.

б)

Чтобы начертить равнобедренный треугольник, у которого угол, лежащий против основания, является прямым, его градусная мера должна быть равна $90^\circ$.

Пусть в равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ угол при вершине $\angle B = 90^\circ$. Такой треугольник называется прямоугольным равнобедренным треугольником.

Найдем углы при основании $\angle A$ и $\angle C$:

$\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Для построения такого треугольника необходимо:

1. Начертить прямой угол с вершиной в точке $B$.
2. На сторонах угла отложить два равных отрезка $BA$ и $BC$.
3. Соединить точки $A$ и $C$.

Получится прямоугольный равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB$ и $BC$ — катеты, а $AC$ — гипотенуза и основание.

Ответ: Пример такого треугольника — прямоугольный равнобедренный треугольник с углами $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$. Угол $90^\circ$, лежащий против основания, является прямым.

в)

Чтобы начертить равнобедренный треугольник, у которого угол, лежащий против основания, является тупым, его градусная мера должна быть больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$.

Пусть в равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ угол при вершине $\angle B$ — тупой. Выберем для него значение, например, $\angle B = 120^\circ$.

Найдем углы при основании $\angle A$ и $\angle C$:

$\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Для построения такого треугольника необходимо:

1. Начертить тупой угол $\angle B = 120^\circ$.
2. На сторонах угла отложить от вершины $B$ два равных отрезка $BA$ и $BC$.
3. Соединить точки $A$ и $C$.

Получится тупоугольный равнобедренный треугольник $ABC$.

Ответ: Пример такого треугольника — тупоугольный равнобедренный треугольник с углами $120^\circ, 30^\circ, 30^\circ$. Угол $120^\circ$, лежащий против основания, является тупым.

110 Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а. Перпендикуляры AB и CD к прямой а равны.

а) Докажите, что ∠ABD = ∠CDB;

б) найдите ∠ABC, если ∠ADB = 44°.

а) По условию задачи, отрезки $AB$ и $CD$ являются перпендикулярами к прямой $a$. Точки $B$ и $D$ лежат на прямой $a$, следовательно, отрезок $BD$ также лежит на прямой $a$. По определению перпендикуляра к прямой, угол между перпендикуляром и прямой составляет $90°$. Таким образом, угол, образованный отрезком $AB$ и отрезком $BD$ (лежащим на прямой $a$), равен $90°$. То есть, $?ABD = 90°$. Аналогично, угол, образованный отрезком $CD$ и отрезком $DB$ (лежащим на прямой $a$), равен $90°$. То есть, $?CDB = 90°$. Поскольку оба угла равны $90°$, мы можем заключить, что $?ABD = ?CDB$.
Ответ: Утверждение доказано.

б) Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $?ABD$ и $?CDB$.
В этих треугольниках:
1. $AB = CD$ (по условию задачи).
2. $BD$ — общая сторона (общий катет).
3. $?ABD = ?CDB = 90°$ (доказано в пункте а).
Следовательно, треугольники $?ABD$ и $?CDB$ равны по двум катетам (что является частным случаем первого признака равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Напротив равных сторон $AB$ и $CD$ лежат равные углы $?ADB$ и $?CBD$. Таким образом, $?ADB = ?CBD$.
По условию задачи дано, что $?ADB = 44°$. Следовательно, $?CBD = 44°$.
Угол $?ABD$ является прямым ($90°$) и, судя по расположению точек, состоит из двух углов: $?ABC$ и $?CBD$. То есть, $?ABD = ?ABC + ?CBD$.
Отсюда мы можем найти искомый угол $?ABC$:
$?ABC = ?ABD - ?CBD = 90° - 44° = 46°$.
Ответ: $46°$.

111 Медиана AD треугольника ABC продолжена за точку D на отрезок DE, равный AD, и точка Е соединена с точкой С.

а) Докажите, что △ABD = △ECD;

б) найдите ∠АСЕ, если ∠ACD = 56°, ∠ABD = 40°.

а)

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle ECD $.

По условию задачи $ AD $ — медиана треугольника $ \triangle ABC $, следовательно, точка $ D $ является серединой стороны $ BC $, а значит $ BD = DC $.

Также по условию отрезок $ DE $ является продолжением медианы $ AD $ и $ DE = AD $.

Углы $ \angle ADB $ и $ \angle EDC $ являются вертикальными углами, образованными при пересечении отрезков $ AE $ и $ BC $. Следовательно, $ \angle ADB = \angle EDC $.

Таким образом, мы имеем:

• $ BD = DC $ (по определению медианы)
• $ AD = DE $ (по условию)
• $ \angle ADB = \angle EDC $ (как вертикальные углы)

Следовательно, треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle ECD $ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $ \triangle ABD = \triangle ECD $.

б)

Угол $ \angle ACE $ является суммой двух углов: $ \angle ACD $ и $ \angle DCE $.

$ \angle ACE = \angle ACD + \angle DCE $.

Из доказанного в пункте а) равенства треугольников $ \triangle ABD = \triangle ECD $ следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны их углы:

$ \angle ECD = \angle ABD $.

По условию задачи нам даны значения углов:

$ \angle ABD = 40^\circ $

$ \angle ACD = 56^\circ $

Так как $ \angle ECD = \angle ABD $, то $ \angle ECD = 40^\circ $.

Теперь можем найти искомый угол $ \angle ACE $:

$ \angle ACE = \angle ACD + \angle ECD = 56^\circ + 40^\circ = 96^\circ $.

Ответ: $ \angle ACE = 96^\circ $.

112 В равнобедренном треугольнике основание в 2 раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника.

В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны между собой. Обозначим длину боковой стороны как $x$ см.

Согласно условию задачи, основание в 2 раза меньше боковой стороны. Следовательно, длина основания будет равна $\frac{x}{2}$ см.

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон. Из условия известно, что периметр равен 50 см. Мы можем составить уравнение, сложив длины двух боковых сторон и основания:

$x + x + \frac{x}{2} = 50$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$.

1. Сложим одинаковые переменные:

$2x + \frac{x}{2} = 50$

2. Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 2:

$2 \cdot (2x) + 2 \cdot (\frac{x}{2}) = 50 \cdot 2$

$4x + x = 100$

3. Приведем подобные слагаемые:

$5x = 100$

4. Найдем $x$:

$x = \frac{100}{5}$

$x = 20$

Таким образом, длина каждой боковой стороны треугольника составляет 20 см.

Теперь найдем длину основания:

Основание = $\frac{x}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Итак, стороны треугольника: две боковые стороны по 20 см и основание 10 см.

Проверим правильность решения, вычислив периметр с найденными сторонами:

$P = 20 \text{ см} + 20 \text{ см} + 10 \text{ см} = 50 \text{ см}$

Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: боковые стороны треугольника равны 20 см, а основание — 10 см.

113 Периметр равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС равен 40 см, а периметр равностороннего треугольника BCD равен 45 см. Найдите стороны AB и ВС.

1. Найдем сторону BC.

Рассмотрим треугольник $BCD$. По условию, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны: $BC = CD = DB$.

Периметр равностороннего треугольника, $P_{BCD}$, равен утроенной длине его стороны. $P_{BCD} = 3 \cdot BC$

По условию, $P_{BCD} = 45$ см. Подставим это значение в формулу: $45 = 3 \cdot BC$

Отсюда можем найти длину стороны $BC$: $BC = \frac{45}{3} = 15$ см.

2. Найдем сторону AB.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, он является равнобедренным с основанием $BC$. Это означает, что его боковые стороны равны: $AB = AC$.

Периметр равнобедренного треугольника, $P_{ABC}$, равен сумме длин всех его сторон: $P_{ABC} = AB + AC + BC$

Так как $AB = AC$, формулу можно записать в следующем виде: $P_{ABC} = 2 \cdot AB + BC$

Из условия известно, что $P_{ABC} = 40$ см. Длину стороны $BC$ мы уже вычислили, она равна 15 см. Подставим известные значения в формулу периметра треугольника $ABC$: $40 = 2 \cdot AB + 15$

Теперь решим полученное уравнение относительно $AB$: $2 \cdot AB = 40 - 15$ $2 \cdot AB = 25$ $AB = \frac{25}{2} = 12.5$ см.

Ответ: $AB = 12.5$ см, $BC = 15$ см.

114 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием ВС проведена медиана AM. Найдите медиану AM, если периметр треугольника ABC равен 32 см, а периметр треугольника ABМ равен 24 см.

Периметр равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $BC$ определяется как сумма длин его сторон: $P_{ABC} = AB + AC + BC$. Поскольку треугольник равнобедренный, его боковые стороны равны ($AB = AC$), поэтому периметр можно записать как $P_{ABC} = 2 \cdot AB + BC$.

По условию, периметр треугольника $ABC$ равен 32 см:
$2 \cdot AB + BC = 32$.

$AM$ — медиана, проведенная к основанию $BC$. По определению медианы, она делит сторону, к которой проведена, на два равных отрезка. Следовательно, $BM = MC = \frac{1}{2}BC$, или $BC = 2 \cdot BM$.

Подставим $BC = 2 \cdot BM$ в формулу периметра треугольника $ABC$:
$2 \cdot AB + 2 \cdot BM = 32$.
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2 \cdot (AB + BM) = 32$.
Разделим обе части уравнения на 2:
$AB + BM = 16$.

Теперь рассмотрим периметр треугольника $ABM$. Он равен сумме длин его сторон: $P_{ABM} = AB + BM + AM$.

По условию, периметр треугольника $ABM$ равен 24 см. Мы уже вычислили, что сумма сторон $AB + BM$ равна 16. Подставим это значение в формулу периметра $ABM$:
$16 + AM = 24$.

Теперь найдем длину медианы $AM$:
$AM = 24 - 16$.
$AM = 8$ см.

Ответ: 8 см.

115 Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.

Пусть в треугольнике $ABC$ отрезок $BM$, проведенный из вершины $B$ к стороне $AC$, является одновременно медианой и высотой.

Рассмотрим два треугольника, которые образуются в результате проведения отрезка $BM$: $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$.

1. Так как $BM$ является медианой, по определению она делит противоположную сторону $AC$ на два равных отрезка. Следовательно, $AM = MC$.

2. Так как $BM$ является высотой, по определению она перпендикулярна стороне, к которой проведена. Следовательно, $\angle BMA$ и $\angle BMC$ являются прямыми углами, то есть $\angle BMA = \angle BMC = 90^\circ$.

3. Сторона $BM$ является общей для треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$.

Таким образом, мы можем сравнить треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$. В них:

• $AM = MC$ (по свойству медианы)
• $\angle BMA = \angle BMC$ (по свойству высоты)
• $BM$ — общая сторона

Следовательно, треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AB$ в $\triangle ABM$ соответствует стороне $BC$ в $\triangle CBM$, значит, $AB = BC$.

Треугольник, у которого две стороны равны, по определению является равнобедренным. Так как в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны, то он является равнобедренным.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на рассмотрении двух треугольников ($\triangle ABM$ и $\triangle CBM$), образованных медианой, которая также является высотой ($BM$). Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (SAS), так как у них равны две стороны ($AM = MC$ и общая сторона $BM$) и угол между ними ($\angle BMA = \angle BMC = 90^\circ$). Из равенства треугольников следует равенство боковых сторон $AB = BC$, а это означает, что исходный треугольник $ABC$ является равнобедренным.

116 На рисунке 72 CD = BD, ∠1 = ∠2. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

Для доказательства того, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, необходимо доказать равенство двух его сторон, например, $AB = AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle ADB$.

В этих треугольниках:

• $CD = BD$ (по условию задачи).
• $AD$ — общая сторона.
• $\angle 2 = \angle 1$ (по условию задачи), что означает, что угол $\angle ADC$ равен углу $\angle ADB$.

Таким образом, две стороны ($CD$ и $AD$) и угол между ними ($\angle ADC$) треугольника $ADC$ соответственно равны двум сторонам ($BD$ и $AD$) и углу между ними ($\angle ADB$) треугольника $ADB$.

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ADC = \triangle ADB$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Отсюда, сторона $AC$ треугольника $\triangle ADC$ равна стороне $AB$ треугольника $\triangle ADB$, то есть $AC = AB$.

Так как в треугольнике $ABC$ две стороны равны ($AC = AB$), то по определению он является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle ADB$ равны по первому признаку равенства треугольников (стороны $CD=BD$, $AD$ — общая, угол между ними $\angle ADC = \angle ADB$). Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон $AC = AB$. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным.