Номер 116, страница 37 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. 18. Свойства равнобедренного треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 116, страница 37.

116 На рисунке 72 CD = BD, ∠1 = ∠2. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

Для доказательства того, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, необходимо доказать равенство двух его сторон, например, $AB = AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle ADB$.

В этих треугольниках:

• $CD = BD$ (по условию задачи).
• $AD$ — общая сторона.
• $\angle 2 = \angle 1$ (по условию задачи), что означает, что угол $\angle ADC$ равен углу $\angle ADB$.

Таким образом, две стороны ($CD$ и $AD$) и угол между ними ($\angle ADC$) треугольника $ADC$ соответственно равны двум сторонам ($BD$ и $AD$) и углу между ними ($\angle ADB$) треугольника $ADB$.

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ADC = \triangle ADB$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Отсюда, сторона $AC$ треугольника $\triangle ADC$ равна стороне $AB$ треугольника $\triangle ADB$, то есть $AC = AB$.

Так как в треугольнике $ABC$ две стороны равны ($AC = AB$), то по определению он является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle ADB$ равны по первому признаку равенства треугольников (стороны $CD=BD$, $AD$ — общая, угол между ними $\angle ADC = \angle ADB$). Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон $AC = AB$. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным.