Номер 115, страница 37 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. 18. Свойства равнобедренного треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 115, страница 37.

115 Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.

Пусть в треугольнике $ABC$ отрезок $BM$, проведенный из вершины $B$ к стороне $AC$, является одновременно медианой и высотой.

Рассмотрим два треугольника, которые образуются в результате проведения отрезка $BM$: $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$.

1. Так как $BM$ является медианой, по определению она делит противоположную сторону $AC$ на два равных отрезка. Следовательно, $AM = MC$.

2. Так как $BM$ является высотой, по определению она перпендикулярна стороне, к которой проведена. Следовательно, $\angle BMA$ и $\angle BMC$ являются прямыми углами, то есть $\angle BMA = \angle BMC = 90^\circ$.

3. Сторона $BM$ является общей для треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$.

Таким образом, мы можем сравнить треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$. В них:

• $AM = MC$ (по свойству медианы)
• $\angle BMA = \angle BMC$ (по свойству высоты)
• $BM$ — общая сторона

Следовательно, треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AB$ в $\triangle ABM$ соответствует стороне $BC$ в $\triangle CBM$, значит, $AB = BC$.

Треугольник, у которого две стороны равны, по определению является равнобедренным. Так как в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны, то он является равнобедренным.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на рассмотрении двух треугольников ($\triangle ABM$ и $\triangle CBM$), образованных медианой, которая также является высотой ($BM$). Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (SAS), так как у них равны две стороны ($AM = MC$ и общая сторона $BM$) и угол между ними ($\angle BMA = \angle BMC = 90^\circ$). Из равенства треугольников следует равенство боковых сторон $AB = BC$, а это означает, что исходный треугольник $ABC$ является равнобедренным.