Номер 108, страница 37 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. 18. Свойства равнобедренного треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 108, страница 37.

108 Начертите треугольник ABC с тремя острыми углами и треуголь ник MNP, у которого угол М тупой. С помощью чертёжного угольника проведите высоты каждого треугольника.

Треугольник ABC с тремя острыми углами

1. Сначала начертим остроугольный треугольник $ABC$. В таком треугольнике все три угла ($\angle A, \angle B, \angle C$) являются острыми, то есть их градусная мера меньше $90^\circ$.

2. Далее проведём три высоты с помощью чертёжного угольника. Высота треугольника — это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону.

- Высота из вершины A к стороне BC: Прикладываем одну из сторон прямого угла чертёжного угольника к стороне $BC$. Перемещаем угольник вдоль прямой $BC$ до тех пор, пока вторая сторона прямого угла не пройдёт через вершину $A$. Проводим отрезок из точки $A$ к стороне $BC$. Обозначим точку пересечения $H_1$. Отрезок $AH_1$ является высотой ($AH_1 \perp BC$).

- Высота из вершины B к стороне AC: Аналогичным образом прикладываем угольник к стороне $AC$ и проводим перпендикуляр из вершины $B$. Получаем высоту $BH_2$ ($BH_2 \perp AC$).

- Высота из вершины C к стороне AB: Повторяем процедуру для стороны $AB$ и вершины $C$, чтобы построить высоту $CH_3$ ($CH_3 \perp AB$).

В остроугольном треугольнике все три высоты находятся внутри самого треугольника и пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром.

Ответ: Построены три высоты $AH_1$, $BH_2$ и $CH_3$. В остроугольном треугольнике все высоты располагаются внутри него и пересекаются в одной точке.

Треугольник MNP, у которого угол M тупой

1. Начертим тупоугольный треугольник $MNP$, у которого угол при вершине $M$ — тупой (то есть $\angle M > 90^\circ$), а два других угла, $\angle N$ и $\angle P$, — острые.

2. Проведём высоты этого треугольника с помощью чертёжного угольника.

- Высота из вершины M (вершина тупого угла) к стороне NP: Прикладываем угольник к стороне $NP$ и проводим перпендикуляр из вершины $M$. Получим высоту $MH_1$ ($MH_1 \perp NP$). Эта высота всегда будет лежать внутри тупоугольного треугольника.

- Высота из вершины N (вершина острого угла) к стороне MP: Поскольку угол $\angle M$ тупой, перпендикуляр из вершины $N$ опустится не на отрезок $MP$, а на его продолжение. Для этого продлеваем сторону $MP$ за вершину $M$. Затем проводим перпендикуляр из точки $N$ к этой прямой. Получим высоту $NH_2$ ($NH_2 \perp MP$), которая будет лежать вне треугольника.

- Высота из вершины P (вершина острого угла) к стороне MN: Аналогично, продлеваем сторону $MN$ за вершину $M$. Опускаем перпендикуляр из вершины $P$ на продолжение стороны $MN$. Эта высота $PH_3$ ($PH_3 \perp MN$) также будет находиться вне треугольника.

В тупоугольном треугольнике только одна высота (проведённая из вершины тупого угла) лежит внутри. Две другие высоты (проведённые из вершин острых углов) лежат снаружи. При этом прямые, на которых лежат все три высоты, пересекаются в одной точке (ортоцентре), которая также находится вне треугольника.

Ответ: В тупоугольном треугольнике $MNP$ с тупым углом $M$ высота $MH_1$, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника, а высоты $NH_2$ и $PH_3$, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника и опущены на продолжения противолежащих сторон.