Номер 111, страница 37 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. 18. Свойства равнобедренного треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 111, страница 37.

111 Медиана AD треугольника ABC продолжена за точку D на отрезок DE, равный AD, и точка Е соединена с точкой С.

а) Докажите, что △ABD = △ECD;

б) найдите ∠АСЕ, если ∠ACD = 56°, ∠ABD = 40°.

а)

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle ECD $.

По условию задачи $ AD $ — медиана треугольника $ \triangle ABC $, следовательно, точка $ D $ является серединой стороны $ BC $, а значит $ BD = DC $.

Также по условию отрезок $ DE $ является продолжением медианы $ AD $ и $ DE = AD $.

Углы $ \angle ADB $ и $ \angle EDC $ являются вертикальными углами, образованными при пересечении отрезков $ AE $ и $ BC $. Следовательно, $ \angle ADB = \angle EDC $.

Таким образом, мы имеем:

• $ BD = DC $ (по определению медианы)
• $ AD = DE $ (по условию)
• $ \angle ADB = \angle EDC $ (как вертикальные углы)

Следовательно, треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle ECD $ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $ \triangle ABD = \triangle ECD $.

б)

Угол $ \angle ACE $ является суммой двух углов: $ \angle ACD $ и $ \angle DCE $.

$ \angle ACE = \angle ACD + \angle DCE $.

Из доказанного в пункте а) равенства треугольников $ \triangle ABD = \triangle ECD $ следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны их углы:

$ \angle ECD = \angle ABD $.

По условию задачи нам даны значения углов:

$ \angle ABD = 40^\circ $

$ \angle ACD = 56^\circ $

Так как $ \angle ECD = \angle ABD $, то $ \angle ECD = 40^\circ $.

Теперь можем найти искомый угол $ \angle ACE $:

$ \angle ACE = \angle ACD + \angle ECD = 56^\circ + 40^\circ = 96^\circ $.

Ответ: $ \angle ACE = 96^\circ $.