Номер 104, страница 32 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Первый признак равенства треугольников. 15. Первый признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 104, страница 32.

104 На сторонах угла CAD отмечены точки В и E так, что точка В лежит на отрезке АС, а точка Е — на отрезке AD, причём AC = AD и AB = АЕ. Докажите, что ∠CBD = ∠DEC.

Рассмотрим треугольники $?ACE$ и $?ADB$.

По условию задачи $AC = AD$ и $AB = AE$. Угол $?CAD$ является общим для этих двух треугольников. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $?ACE ? ?ADB$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон, а именно $CE = DB$.

Поскольку точка $B$ лежит на отрезке $AC$, то длина отрезка $BC$ равна разности длин отрезков $AC$ и $AB$, то есть $BC = AC - AB$. Аналогично, поскольку точка $E$ лежит на отрезке $AD$, то $ED = AD - AE$. Так как по условию $AC = AD$ и $AB = AE$, то отрезки $BC$ и $ED$ равны: $BC = ED$.

Теперь рассмотрим треугольники $?BCD$ и $?EDC$. Мы установили, что сторона $BC$ равна стороне $ED$, сторона $DB$ равна стороне $CE$, а сторона $CD$ является для них общей. Таким образом, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $?BCD ? ?EDC$.

В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы. Углы $?CBD$ и $?DEC$ лежат напротив общей стороны $CD$ в треугольниках $?BCD$ и $?EDC$ соответственно. Следовательно, эти углы равны: $?CBD = ?DEC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $?CBD = ?DEC$ доказано.