Номер 98, страница 32 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Первый признак равенства треугольников. 15. Первый признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 98, страница 32.

98 Отрезки АЕ и DC пересекаются в точке В, являющейся серединой каждого из них. а) Докажите, что треугольники ABC и EBD равны; б) найдите углы А и С треугольника ABC, если в треугольнике BDE ∠D = 47°, ∠E = 42°.

а)

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $EBD$.

По условию задачи, отрезки $AE$ и $DC$ пересекаются в точке $B$, которая является серединой каждого из них. Из этого следует:

• $AB = BE$ (поскольку $B$ — середина отрезка $AE$);
• $CB = BD$ (поскольку $B$ — середина отрезка $DC$).

Углы $\angle ABC$ и $\angle EBD$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $AE$ и $DC$. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle ABC = \angle EBD$.

Таким образом, в треугольниках $ABC$ и $EBD$ сторона $AB$ равна стороне $BE$, сторона $CB$ равна стороне $BD$, и угол между этими сторонами $\angle ABC$ равен углу $\angle EBD$. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABC = \triangle EBD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ABC$ и $EBD$ доказано по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

б)

Из доказанного в пункте а) равенства треугольников ($\triangle ABC = \triangle EBD$) следует, что их соответствующие элементы (углы и стороны) равны.

В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы. Установим соответствие углов:

• Угол $A$ в $\triangle ABC$ лежит напротив стороны $BC$. В $\triangle EBD$ напротив равной ей стороны $BD$ лежит угол $E$. Следовательно, $\angle A = \angle E$.
• Угол $C$ в $\triangle ABC$ лежит напротив стороны $AB$. В $\triangle EBD$ напротив равной ей стороны $BE$ лежит угол $D$. Следовательно, $\angle C = \angle D$.

По условию задачи, в треугольнике $BDE$ известны углы: $\angle D = 47^\circ$ и $\angle E = 42^\circ$.

Используя установленное соответствие, находим углы треугольника $ABC$:

$\angle A = \angle E = 42^\circ$

$\angle C = \angle D = 47^\circ$

Ответ: $\angle A = 42^\circ$, $\angle C = 47^\circ$.