Страница 32 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

94 С помощью транспортира и масштабной линейки начертите треугольник ABC, в котором:

а) AB = 4,3 см, АС = 2,3 см, ∠A = 23°;

б) ВС = 9 см, ВА = 6,2 см, ∠B = 122°;

в) СА = 3 см, СВ = 4 см, ∠C = 90°.

а) Для построения треугольника $ABC$ по двум сторонам $AB = 4,3$ см, $AC = 2,3$ см и углу между ними $\angle A = 23^\circ$ (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними), необходимо выполнить следующие шаги:
1. С помощью масштабной линейки начертить отрезок $AB$ длиной $4,3$ см.
2. Приложить транспортир к точке $A$ так, чтобы его центр совпал с точкой $A$, а нулевая отметка шкалы лежала на луче $AB$.
3. Найти на шкале транспортира отметку $23^\circ$ и поставить вспомогательную точку.
4. Провести луч из точки $A$ через эту вспомогательную точку.
5. На построенном луче от точки $A$ отложить с помощью линейки отрезок $AC$ длиной $2,3$ см.
6. Соединить точки $B$ и $C$ отрезком с помощью линейки.
Полученный треугольник $ABC$ является искомым.
Ответ: Треугольник построен в соответствии с описанными шагами.

б) Для построения треугольника $ABC$ по двум сторонам $BC = 9$ см, $BA = 6,2$ см и углу между ними $\angle B = 122^\circ$ (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними), необходимо выполнить следующие шаги:
1. С помощью масштабной линейки начертить отрезок $BC$ длиной $9$ см.
2. Приложить транспортир к точке $B$ так, чтобы его центр совпал с точкой $B$, а нулевая отметка шкалы лежала на луче $BC$.
3. Найти на шкале транспортира отметку $122^\circ$ (тупой угол) и поставить вспомогательную точку.
4. Провести луч из точки $B$ через эту вспомогательную точку.
5. На построенном луче от точки $B$ отложить с помощью линейки отрезок $BA$ длиной $6,2$ см.
6. Соединить точки $A$ и $C$ отрезком с помощью линейки.
Полученный треугольник $ABC$ является искомым.
Ответ: Треугольник построен в соответствии с описанными шагами.

в) Для построения треугольника $ABC$ по двум сторонам (катетам) $CA = 3$ см, $CB = 4$ см и прямому углу между ними $\angle C = 90^\circ$, необходимо выполнить следующие шаги:
1. С помощью масштабной линейки начертить отрезок $CA$ длиной $3$ см.
2. Приложить транспортир к точке $C$ так, чтобы его центр совпал с точкой $C$, а нулевая отметка шкалы лежала на луче $CA$.
3. Найти на шкале транспортира отметку $90^\circ$ и поставить вспомогательную точку. Можно также использовать угольник для построения прямого угла.
4. Провести луч из точки $C$ через эту вспомогательную точку. Этот луч будет перпендикулярен отрезку $CA$.
5. На построенном перпендикулярном луче от точки $C$ отложить с помощью линейки отрезок $CB$ длиной $4$ см.
6. Соединить точки $A$ и $B$ отрезком с помощью линейки. Этот отрезок будет гипотенузой.
Полученный прямоугольный треугольник $ABC$ является искомым.
Ответ: Треугольник построен в соответствии с описанными шагами.

95 Сторона AB треугольника ABC равна 17 см, сторона АС вдвое больше стороны AB, а сторона ВС на 10 см меньше стороны АС. Найдите периметр треугольника ABC.

Для того чтобы найти периметр треугольника, необходимо сначала вычислить длины всех его сторон, используя данные из условия задачи.

Находим длину стороны AC
По условию, сторона $AC$ вдвое больше стороны $AB$. Длина стороны $AB$ равна $17$ см. Следовательно, длина стороны $AC$ равна:
$AC = 17 \text{ см} \times 2 = 34 \text{ см}$

Находим длину стороны BC
Также по условию, сторона $BC$ на $10$ см меньше стороны $AC$. Мы уже выяснили, что $AC = 34$ см. Следовательно, длина стороны $BC$ равна:
$BC = 34 \text{ см} - 10 \text{ см} = 24 \text{ см}$

Находим периметр треугольника ABC
Периметр треугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Для треугольника $ABC$ формула периметра выглядит так:
$P_{ABC} = AB + AC + BC$
Теперь подставим известные длины сторон в формулу:
$P_{ABC} = 17 \text{ см} + 34 \text{ см} + 24 \text{ см} = 75 \text{ см}$

Ответ: периметр треугольника ABC равен 75 см.

96 Периметр треугольника равен 48 см, а одна из сторон равна 18 см. Найдите две другие стороны, если их разность равна 4,6 см.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$.

По условию задачи, периметр треугольника $P$ равен 48 см, а одна из сторон, например $a$, равна 18 см.

Периметр треугольника вычисляется по формуле: $P = a + b + c$.

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти сумму двух других сторон ($b+c$):

$48 = 18 + b + c$

$b + c = 48 - 18$

$b + c = 30$ см.

Также из условия известно, что разность двух неизвестных сторон равна 4,6 см. Запишем это как уравнение, предположив, что $b$ — большая из двух сторон:

$b - c = 4,6$ см.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $b$ и $c$:

$\begin{cases} b + c = 30 \\ b - c = 4,6\end{cases}$

Чтобы решить эту систему, можно сложить два уравнения. Это позволит нам исключить переменную $c$:

$(b + c) + (b - c) = 30 + 4,6$

$2b = 34,6$

Теперь найдем значение $b$:

$b = \frac{34,6}{2}$

$b = 17,3$ см.

Зная значение $b$, мы можем найти $c$, подставив $b$ в первое уравнение системы:

$17,3 + c = 30$

$c = 30 - 17,3$

$c = 12,7$ см.

Таким образом, две другие стороны треугольника равны 17,3 см и 12,7 см.

Проверим: сумма сторон $18 + 17,3 + 12,7 = 48$ см, что равно периметру. Разность сторон $17,3 - 12,7 = 4,6$ см, что соответствует условию задачи.

Ответ: две другие стороны треугольника равны 17,3 см и 12,7 см.

97 Периметр одного треугольника больше периметра другого. Могут ли быть равными эти треугольники?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, необходимо обратиться к определению равных треугольников и понятию периметра.

Два треугольника считаются равными, если они полностью совпадают при наложении друг на друга. Основное свойство равных треугольников заключается в том, что их соответствующие стороны и соответствующие углы равны.

Пусть у нас есть два треугольника, $\triangle_1$ и $\triangle_2$. Обозначим длины сторон первого треугольника как $a_1, b_1, c_1$, а второго — как $a_2, b_2, c_2$.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Соответственно, периметр первого треугольника $P_1 = a_1 + b_1 + c_1$, а периметр второго $P_2 = a_2 + b_2 + c_2$.

Теперь предположим, что эти два треугольника равны. Если $\triangle_1 = \triangle_2$, то по определению равенства треугольников их соответствующие стороны должны быть равны: $a_1 = a_2$ $b_1 = b_2$ $c_1 = c_2$

Если соответствующие стороны равны, то и их суммы (периметры) обязательно будут равны. Сложив левые и правые части этих равенств, получим: $a_1 + b_1 + c_1 = a_2 + b_2 + c_2$ Следовательно, $P_1 = P_2$.

Однако по условию задачи периметр одного треугольника больше периметра другого, то есть $P_1 > P_2$ (или $P_2 > P_1$). Это прямо противоречит выводу, который мы получили из предположения о равенстве треугольников ($P_1 = P_2$).

Таким образом, наше начальное предположение о том, что треугольники могут быть равными, неверно. Если периметры двух треугольников различны, то эти треугольники не могут быть равными.

Ответ: Нет, не могут.

98 Отрезки АЕ и DC пересекаются в точке В, являющейся серединой каждого из них. а) Докажите, что треугольники ABC и EBD равны; б) найдите углы А и С треугольника ABC, если в треугольнике BDE ∠D = 47°, ∠E = 42°.

а)

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $EBD$.

По условию задачи, отрезки $AE$ и $DC$ пересекаются в точке $B$, которая является серединой каждого из них. Из этого следует:

• $AB = BE$ (поскольку $B$ — середина отрезка $AE$);
• $CB = BD$ (поскольку $B$ — середина отрезка $DC$).

Углы $\angle ABC$ и $\angle EBD$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $AE$ и $DC$. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle ABC = \angle EBD$.

Таким образом, в треугольниках $ABC$ и $EBD$ сторона $AB$ равна стороне $BE$, сторона $CB$ равна стороне $BD$, и угол между этими сторонами $\angle ABC$ равен углу $\angle EBD$. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABC = \triangle EBD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ABC$ и $EBD$ доказано по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

б)

Из доказанного в пункте а) равенства треугольников ($\triangle ABC = \triangle EBD$) следует, что их соответствующие элементы (углы и стороны) равны.

В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы. Установим соответствие углов:

• Угол $A$ в $\triangle ABC$ лежит напротив стороны $BC$. В $\triangle EBD$ напротив равной ей стороны $BD$ лежит угол $E$. Следовательно, $\angle A = \angle E$.
• Угол $C$ в $\triangle ABC$ лежит напротив стороны $AB$. В $\triangle EBD$ напротив равной ей стороны $BE$ лежит угол $D$. Следовательно, $\angle C = \angle D$.

По условию задачи, в треугольнике $BDE$ известны углы: $\angle D = 47^\circ$ и $\angle E = 42^\circ$.

Используя установленное соответствие, находим углы треугольника $ABC$:

$\angle A = \angle E = 42^\circ$

$\angle C = \angle D = 47^\circ$

Ответ: $\angle A = 42^\circ$, $\angle C = 47^\circ$.

99 На рисунке 58 AB=АС, ∠1=∠2.

а) Докажите, что треугольники ABD и ACD равны;

б) найдите BD и AB, если АС=15см, DC=5см.

а)

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACD$. Для доказательства их равенства сравним их элементы:

1. $AB = AC$ — дано по условию задачи (это также показано одинаковыми штрихами на сторонах на рисунке).
2. $\angle 1 = \angle 2$ (то есть $\angle BAD = \angle CAD$) — дано по условию задачи.
3. $AD$ — общая сторона для обоих треугольников.

Таким образом, две стороны ($AB$ и $AD$) и угол между ними ($\angle BAD$) треугольника $ABD$ соответственно равны двум сторонам ($AC$ и $AD$) и углу между ними ($\angle CAD$) треугольника $ACD$.

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, $\triangle ABD = \triangle ACD$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Из равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$, которое мы доказали в пункте а), следует равенство их соответствующих сторон.

Сторона $BD$ в треугольнике $ABD$ лежит напротив угла $\angle 1$. Сторона $DC$ в треугольнике $ACD$ лежит напротив угла $\angle 2$. Так как $\angle 1 = \angle 2$, то соответствующие им стороны равны: $BD = DC$.

По условию задачи $DC = 5$ см, следовательно, $BD = 5$ см.

Также по условию $AB = AC$. Нам дано, что $AC = 15$ см, следовательно, $AB = 15$ см.

Ответ: $BD = 5$ см, $AB = 15$ см.

100 На рисунке 59 BC=AD, ∠1=∠2.

а) Докажите, что треугольники ABC и CDA равны;

б) найдите AB и ВС, если AD=17см, DC=14см.

а) Докажем, что треугольники $ABC$ и $CDA$ равны.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$. В них:

1. $BC = AD$ по условию задачи.
2. $?1 = ?2$ (то есть $?BCA = ?DAC$) по условию задачи.
3. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Следовательно, треугольники $ABC$ и $CDA$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: Треугольники $ABC$ и $CDA$ равны ($?ABC ? ?CDA$) по первому признаку равенства треугольников, так как у них сторона $AC$ — общая, а стороны $BC$ и $AD$ и углы $?BCA$ и $?DAC$ равны по условию задачи.

б) Найдем длины сторон $AB$ и $BC$.

Дано, что $AD = 17$ см и $DC = 14$ см.

По условию задачи $BC = AD$. Следовательно, $BC = 17$ см.

Из равенства треугольников $ABC$ и $CDA$, доказанного в пункте а), следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AB$ в треугольнике $ABC$ соответствует стороне $CD$ в треугольнике $CDA$.

Следовательно, $AB = CD$. Поскольку $DC = 14$ см, то и $AB = 14$ см.

Ответ: $AB = 14$ см, $BC = 17$ см.

101 На рисунке 60 OA=OD, OB=OC, ∠1=74°, ∠2=36°.

а) Докажите, что треугольники AOB и DOC равны;

б) найдите угол ACD.

а)

Рассмотрим треугольники $AOB$ и $DOC$. По условию задачи нам дано, что стороны $OA = OD$ и $OB = OC$. Углы $\angle AOB$ и $\angle DOC$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $AC$ и $BD$. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle AOB = \angle DOC$.

Таким образом, в треугольниках $AOB$ и $DOC$ имеются две соответственно равные стороны ($OA = OD$, $OB = OC$) и равный угол между ними ($\angle AOB = \angle DOC$).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle AOB \cong \triangle DOC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $AOB$ и $DOC$ доказано.

б)

Из равенства треугольников $AOB$ и $DOC$, доказанного в пункте а), следует, что их соответственные углы равны. Угол $\angle OCD$ в треугольнике $DOC$ соответствует углу $\angle OBA$ в треугольнике $AOB$.

Следовательно, $\angle OCD = \angle OBA$.

По условию задачи $\angle 1 = 74^\circ$. Из рисунка видно, что $\angle 1$ это угол $\angle OBA$. Таким образом, $\angle OBA = 74^\circ$.

Отсюда получаем, что $\angle OCD = 74^\circ$.

Поскольку точки $A, O, C$ лежат на одной прямой, угол $\angle ACD$ является тем же углом, что и $\angle OCD$.

Значит, искомый угол $\angle ACD = 74^\circ$.

(Информация о том, что $\angle 2 = 36^\circ$, является избыточной для решения задачи и, вероятно, содержит ошибку, поскольку на чертеже $\angle 2$ обозначает искомый угол $\angle ACD$, значение которого однозначно определяется из других условий.)

Ответ: $74^\circ$.

102 Отрезки АС и BD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что △ABC = △CDA.

Пусть отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Согласно условию задачи, точка пересечения делит эти отрезки пополам. Это означает, что $AO = OC$ и $BO = OD$.

Рассмотрим треугольники $?AOB$ и $?COD$. В этих треугольниках:

• $AO = CO$ (по условию)
• $BO = DO$ (по условию)
• $?AOB = ?COD$ (как вертикальные углы)

Следовательно, $?AOB = ?COD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства этих треугольников следует, что их соответственные стороны равны, а именно $AB = CD$.

Аналогично рассмотрим треугольники $?BOC$ и $?DOA$. В них:

• $BO = DO$ (по условию)
• $CO = AO$ (по условию)
• $?BOC = ?DOA$ (как вертикальные углы)

Следовательно, $?BOC = ?DOA$ также по первому признаку равенства треугольников. Из этого следует равенство их соответственных сторон: $BC = DA$.

Теперь мы можем доказать равенство треугольников $?ABC$ и $?CDA$. Сравним эти два треугольника:

• $AB = CD$ (как доказано ранее)
• $BC = DA$ (как доказано ранее)
• $AC$ — общая сторона

Таким образом, три стороны треугольника $?ABC$ соответственно равны трем сторонам треугольника $?CDA$. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $?ABC = ?CDA$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $?ABC$ и $?CDA$ доказано на основе признака равенства треугольников по трем сторонам (SSS), предварительно установив равенство сторон $AB=CD$ и $BC=DA$ через рассмотрение пар треугольников $?AOB, ?COD$ и $?BOC, ?DOA$.

103 В треугольниках ABC и А₁В₁С₁ AB = А₁В₁, AC = А₁С₁, ∠A = ∠A₁. На сторонах AB и А₁В₁ отмечены точки Р и P₁ так, что АР = А₁Р₁. Докажите, что △BРС = △В₁Р₁С₁.

Докажите, что $\triangle BPC = \triangle B_1P_1C_1$

Для доказательства равенства треугольников $\triangle BPC$ и $\triangle B_1P_1C_1$ воспользуемся методом пошагового вывода на основе данных из условия задачи.

1. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. По условию задачи, у них равны две стороны и угол между ними:
- $AB = A_1B_1$
- $AC = A_1C_1$
- $\angle A = \angle A_1$
Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

2. Из равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ следует равенство их соответствующих сторон и углов. Для дальнейшего доказательства нам понадобятся следующие равенства:
- $BC = B_1C_1$
- $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$ (или, для краткости, $\angle B = \angle B_1$)

3. Рассмотрим отрезки $BP$ и $B_1P_1$. Точка $P$ лежит на стороне $AB$, а точка $P_1$ — на стороне $A_1B_1$. Длины этих отрезков можно найти как разность длин отрезков:
$BP = AB - AP$
$B_1P_1 = A_1B_1 - A_1P_1$
Так как по условию $AB = A_1B_1$ и $AP = A_1P_1$, то, вычитая из равных величин равные, мы получаем, что $BP = B_1P_1$.

4. Теперь мы можем сравнить элементы треугольников $BPC$ и $B_1P_1C_1$:
- $BP = B_1P_1$ (доказано в п. 3).
- $BC = B_1C_1$ (доказано в п. 2).
- $\angle PBC = \angle P_1B_1C_1$ (так как это углы $\angle B$ и $\angle B_1$, равенство которых доказано в п. 2).
Таким образом, в треугольниках $BPC$ и $B_1P_1C_1$ две стороны и угол между ними соответственно равны. По первому признаку равенства треугольников, $\triangle BPC = \triangle B_1P_1C_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство $\triangle BPC = \triangle B_1P_1C_1$ следует из первого признака равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), так как $BC = B_1C_1$ и $\angle B = \angle B_1$ (из равенства $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$), а $BP = B_1P_1$ (как разность равных отрезков).

104 На сторонах угла CAD отмечены точки В и E так, что точка В лежит на отрезке АС, а точка Е — на отрезке AD, причём AC = AD и AB = АЕ. Докажите, что ∠CBD = ∠DEC.

Рассмотрим треугольники $?ACE$ и $?ADB$.

По условию задачи $AC = AD$ и $AB = AE$. Угол $?CAD$ является общим для этих двух треугольников. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $?ACE ? ?ADB$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон, а именно $CE = DB$.

Поскольку точка $B$ лежит на отрезке $AC$, то длина отрезка $BC$ равна разности длин отрезков $AC$ и $AB$, то есть $BC = AC - AB$. Аналогично, поскольку точка $E$ лежит на отрезке $AD$, то $ED = AD - AE$. Так как по условию $AC = AD$ и $AB = AE$, то отрезки $BC$ и $ED$ равны: $BC = ED$.

Теперь рассмотрим треугольники $?BCD$ и $?EDC$. Мы установили, что сторона $BC$ равна стороне $ED$, сторона $DB$ равна стороне $CE$, а сторона $CD$ является для них общей. Таким образом, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $?BCD ? ?EDC$.

В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы. Углы $?CBD$ и $?DEC$ лежат напротив общей стороны $CD$ в треугольниках $?BCD$ и $?EDC$ соответственно. Следовательно, эти углы равны: $?CBD = ?DEC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $?CBD = ?DEC$ доказано.