Страница 28 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

82 Отрезок в 36 см разделён на четыре не равные друг другу части. Расстояние между серединами крайних частей равно 30 см. Найдите расстояние между серединами средних частей.

Пусть длины четырех неравных частей, на которые разделен отрезок, равны $a, b, c$ и $d$. Части расположены последовательно, поэтому общая длина отрезка равна их сумме.

Сумма длин всех частей составляет 36 см:

$a + b + c + d = 36$

Крайними частями являются первая (длиной $a$) и четвертая (длиной $d$). Средними частями являются вторая (длиной $b$) и третья (длиной $c$).

Расстояние между серединами двух отрезков, расположенных на одной прямой, можно найти, просуммировав отрезки, лежащие между их серединами. Расстояние между серединами крайних частей (первой и четвертой) состоит из половины длины первой части, полной длины второй и третьей частей, и половины длины четвертой части.

По условию, это расстояние равно 30 см:

$a/2 + b + c + d/2 = 30$

Мы ищем расстояние между серединами средних частей (второй и третьей). Это расстояние состоит из половины длины второй части и половины длины третьей части:

Искомое расстояние $= b/2 + c/2 = (b+c)/2$

Чтобы решить задачу, найдем сумму длин крайних частей ($a+d$). Вычтем из общей длины отрезка расстояние между серединами крайних частей:

$(a + b + c + d) - (a/2 + b + c + d/2) = 36 - 30$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$a - a/2 + b - b + c - c + d - d/2 = 6$

$a/2 + d/2 = 6$

$(a + d) / 2 = 6$

Отсюда сумма длин крайних частей:

$a + d = 12$ см.

Теперь, зная сумму длин крайних частей, мы можем найти сумму длин средних частей ($b+c$), используя уравнение для полной длины отрезка:

$(a + d) + (b + c) = 36$

$12 + (b + c) = 36$

$b + c = 36 - 12$

$b + c = 24$ см.

Наконец, находим искомое расстояние между серединами средних частей:

Расстояние $= (b+c)/2 = 24 / 2 = 12$ см.

Ответ: 12 см.

83* Точки А, В и С лежат на одной прямой, точки М и N — середины отрезков AB и АС. Докажите, что ВС = 2MN.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим все возможные случаи взаимного расположения точек A, B и C на прямой, так как от этого зависит, как будут вычисляться длины отрезков.

Случай 1: Точки B и C лежат по одну сторону от точки A.

В этом случае точка A не находится между B и C. Это означает, что B и C лежат на одном луче, выходящем из точки A. Пусть, для определенности, точка C находится дальше от A, чем точка B. Тогда порядок точек на прямой: A, B, C. Длина отрезка AC является суммой длин отрезков AB и BC: $AC = AB + BC$. Из этого равенства можно выразить длину BC: $BC = AC - AB$.

По условию, M — середина отрезка AB, а N — середина отрезка AC. Это означает, что $AM = \frac{1}{2}AB$ и $AN = \frac{1}{2}AC$.

Так как $AB < AC$, то и $AM < AN$. Обе точки M и N лежат на том же луче, что и B и C, поэтому точка M находится между A и N. Длину отрезка MN можно найти как разность длин отрезков AN и AM:

$MN = AN - AM = \frac{1}{2}AC - \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}(AC - AB)$

Подставляя в это выражение $BC$ вместо $AC - AB$, получаем:

$MN = \frac{1}{2}BC$, что равносильно $BC = 2MN$.

Если бы точка B находилась дальше от A, чем точка C (порядок A, C, B), рассуждения были бы аналогичными: $BC = AB - AC$ и $MN = AM - AN = \frac{1}{2}(AB - AC) = \frac{1}{2}BC$. Результат остался бы тем же.

Случай 2: Точка A лежит между точками B и C.

В этом случае порядок расположения точек, например, B, A, C. Длина отрезка BC равна сумме длин отрезков BA и AC: $BC = BA + AC$.

M — середина отрезка AB, это значит, что M лежит между B и A, и $AM = \frac{1}{2}AB$.

N — середина отрезка AC, это значит, что N лежит между A и C, и $AN = \frac{1}{2}AC$.

Так как точки B и C лежат по разные стороны от A, то и их середины M и N (относительно A) также лежат по разные стороны от A. Таким образом, точка A находится между M и N. Длина отрезка MN равна сумме длин отрезков MA и AN.

$MN = MA + AN = \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}(AB + AC)$

Так как длина отрезка BA равна длине AB, то $BC = AB + AC$. Подставляя это в выражение для MN, получаем:

$MN = \frac{1}{2}BC$, что эквивалентно $BC = 2MN$.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные конфигурации расположения точек A, B и C на прямой и в каждом случае доказали, что искомое равенство выполняется.

Ответ: Утверждение, что $BC = 2MN$, доказано.

84 Известно, что ∠AOB = 35°, ∠BOC = 50°. Найдите угол АОС. Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж с помощью линейки и транспортира.

Данная задача имеет два возможных решения, так как в условии не указано взаимное расположение лучей, образующих углы. Рассмотрим оба случая.

В этом случае угол $ \angle AOC $ состоит из двух углов $ \angle AOB $ и $ \angle BOC $, и его величина равна их сумме. Это происходит, когда луч OB проходит между лучами OA и OC.

$ \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC $

Подставляем известные значения:

$ \angle AOC = 35^\circ + 50^\circ = 85^\circ $

Чертёж для случая 1:
Чтобы построить чертёж, сначала проведите луч OA. Затем с помощью транспортира отложите от луча OA угол $ \angle AOB $, равный $35^\circ$, и проведите луч OB. После этого от луча OB отложите угол $ \angle BOC $, равный $50^\circ$, в сторону, противоположную лучу OA. Проведите луч OC. Измерив полученный угол $ \angle AOC $, вы убедитесь, что он равен $85^\circ$.

Ответ: $85^\circ$.

Поскольку $ \angle AOB = 35^\circ $ меньше, чем $ \angle BOC = 50^\circ $, возможна ситуация, когда луч OA проходит внутри угла $ \angle BOC $. В этом случае угол $ \angle AOC $ будет равен разности величин углов $ \angle BOC $ и $ \angle AOB $.

$ \angle AOC = \angle BOC - \angle AOB $

Подставляем известные значения:

$ \angle AOC = 50^\circ - 35^\circ = 15^\circ $

(Случай, когда луч OC проходит внутри угла $ \angle AOB $, невозможен, так как это привело бы к отрицательной величине угла $ \angle BOC $).

Чертёж для случая 2:
Чтобы построить чертёж, сначала проведите луч OB. С помощью транспортира отложите от него угол $ \angle BOC $, равный $50^\circ$, и проведите луч OC. Затем от того же луча OB отложите угол $ \angle AOB $, равный $35^\circ$, так, чтобы луч OA оказался внутри угла $ \angle BOC $. Проведите луч OA. Измерив полученный угол $ \angle AOC $, вы убедитесь, что он равен $15^\circ$.

Ответ: $15^\circ$.

85 Угол hk равен 120°, а угол hm равен 150°. Найдите угол km. Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж.

Данная задача имеет два возможных решения, так как взаимное расположение лучей k и m относительно луча h не определено. Рассмотрим оба случая. Пусть все лучи исходят из одной точки O.

В этом случае один угол будет являться частью другого. Так как $\angle hm = 150^\circ$ больше, чем $\angle hk = 120^\circ$, луч k будет проходить между лучами h и m. Чтобы найти угол $\angle km$, необходимо из величины большего угла вычесть величину меньшего.

Выполним вычисление:

$\angle km = \angle hm - \angle hk = 150^\circ - 120^\circ = 30^\circ$

Чертёж для первого случая:

Ответ: $30^\circ$

В этом случае угол $\angle km$ будет внешним по отношению к углу, составленному из суммы данных углов. Сначала найдем сумму углов $\angle hk$ и $\angle hm$.

Выполним вычисление:

$\angle hk + \angle hm = 120^\circ + 150^\circ = 270^\circ$

Полученный угол в $270^\circ$ является рефлексным (т.е. больше $180^\circ$). Обычно под углом между двумя лучами понимают наименьший из двух возможных углов. Полный угол вокруг точки равен $360^\circ$. Чтобы найти искомый (меньший) угол $\angle km$, вычтем из полного угла полученную сумму.

$\angle km = 360^\circ - (\angle hk + \angle hm) = 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$

Чертёж для второго случая:

Ответ: $90^\circ$

86 Найдите смежные углы, если:

а) один из них на 45° больше другого;

б) их разность равна 35°.

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой и являются продолжениями одна другой. Ключевое свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$.

Пусть искомые смежные углы будут $\alpha$ и $\beta$. Тогда их основное свойство можно записать в виде формулы:

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Теперь решим задачу для каждого из условий.

а) один из них на 45° больше другого;

Согласно условию, один угол больше другого на $45^\circ$. Пусть угол $\alpha$ будет больше угла $\beta$. Это можно записать как $\alpha = \beta + 45^\circ$.

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha = \beta + 45^\circ \end{cases}$

Подставим выражение для $\alpha$ из второго уравнения в первое:

$(\beta + 45^\circ) + \beta = 180^\circ$

Решим полученное уравнение относительно $\beta$:

$2\beta + 45^\circ = 180^\circ$

$2\beta = 180^\circ - 45^\circ$

$2\beta = 135^\circ$

$\beta = \frac{135^\circ}{2} = 67.5^\circ$

Теперь найдем величину второго угла $\alpha$:

$\alpha = 67.5^\circ + 45^\circ = 112.5^\circ$

Проверка: $112.5^\circ + 67.5^\circ = 180^\circ$. Условие выполняется.

Ответ: $67.5^\circ$ и $112.5^\circ$.

б) их разность равна 35°;

Согласно условию, разность между углами составляет $35^\circ$. Пусть $\alpha$ — больший угол, а $\beta$ — меньший. Тогда их разность можно записать как $\alpha - \beta = 35^\circ$.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha - \beta = 35^\circ \end{cases}$

Для решения этой системы удобно сложить оба уравнения. Это позволит нам исключить переменную $\beta$:

$(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 180^\circ + 35^\circ$

$2\alpha = 215^\circ$

$\alpha = \frac{215^\circ}{2} = 107.5^\circ$

Теперь, зная $\alpha$, найдем $\beta$ из первого уравнения:

$107.5^\circ + \beta = 180^\circ$

$\beta = 180^\circ - 107.5^\circ = 72.5^\circ$

Проверка: $107.5^\circ + 72.5^\circ = 180^\circ$ и $107.5^\circ - 72.5^\circ = 35^\circ$. Оба условия выполняются.

Ответ: $72.5^\circ$ и $107.5^\circ$.

87 Найдите угол, образованный биссектрисами двух смежных углов.

Смежными углами называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой и являются продолжением друг друга. Важнейшее свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$.

Пусть у нас есть два смежных угла, $\angle 1$ и $\angle 2$. Тогда их сумма равна:

$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$

Биссектриса — это луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных угла.

Пусть $l_1$ — биссектриса угла $\angle 1$. Она делит этот угол на две равные части, каждая из которых равна $\frac{\angle 1}{2}$.

Пусть $l_2$ — биссектриса угла $\angle 2$. Она делит этот угол на две равные части, каждая из которых равна $\frac{\angle 2}{2}$.

Угол, образованный биссектрисами $l_1$ и $l_2$, будет состоять из суммы двух половин исходных углов. Найдем его величину:

$\text{Искомый угол} = \frac{\angle 1}{2} + \frac{\angle 2}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\text{Искомый угол} = \frac{1}{2} (\angle 1 + \angle 2)$

Так как мы знаем, что $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$, подставим это значение в формулу:

$\text{Искомый угол} = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$

Таким образом, угол между биссектрисами двух смежных углов всегда является прямым.

Ответ: $90^\circ$.

88 Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Доказательство:

Пусть две прямые AC и BD пересекаются в точке O. При пересечении образуются две пары вертикальных углов: $\angle AOD$ и $\angle BOC$, а также $\angle AOB$ и $\angle DOC$. Докажем утверждение для одной пары углов, например, для $\angle AOD$ и $\angle BOC$.

Проведем луч OK, который является биссектрисой угла $\angle AOD$.
Проведем луч OL, который является биссектрисой угла $\angle BOC$.

Нам необходимо доказать, что лучи OK и OL являются дополнительными друг другу, то есть лежат на одной прямой. Для этого нужно показать, что угол, образованный этими лучами, является развернутым, то есть $\angle KOL = 180^\circ$.

1. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle AOD = \angle BOC$. Обозначим величину этих углов как $\alpha$.

2. Поскольку OK — биссектриса угла $\angle AOD$, она делит его пополам:
$\angle AOK = \angle KOD = \frac{1}{2}\angle AOD = \frac{\alpha}{2}$.

3. Аналогично, поскольку OL — биссектриса угла $\angle BOC$, она делит его пополам:
$\angle BOL = \angle LOC = \frac{1}{2}\angle BOC = \frac{\alpha}{2}$.

4. Углы $\angle AOD$ и $\angle AOB$ являются смежными, так как они имеют общую сторону OA, а стороны OD и OB являются дополнительными лучами прямой BD. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.
Следовательно, $\angle AOD + \angle AOB = 180^\circ$.
Отсюда можно выразить $\angle AOB$: $\angle AOB = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - \alpha$.

5. Угол $\angle KOL$ можно представить как сумму трех смежных углов: $\angle AOK$, $\angle AOB$ и $\angle BOL$.
$\angle KOL = \angle AOK + \angle AOB + \angle BOL$.

6. Подставим в это равенство значения углов, которые мы нашли:
$\angle KOL = \frac{\alpha}{2} + (180^\circ - \alpha) + \frac{\alpha}{2}$
Сгруппируем слагаемые:
$\angle KOL = (\frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2}) + 180^\circ - \alpha$
$\angle KOL = \alpha + 180^\circ - \alpha$
$\angle KOL = 180^\circ$

Поскольку угол $\angle KOL$ равен $180^\circ$, он является развернутым. Это означает, что его стороны, лучи OK и OL, являются дополнительными и лежат на одной прямой.
Доказательство для второй пары вертикальных углов ($\angle AOB$ и $\angle DOC$) проводится абсолютно аналогично.
Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Биссектрисы вертикальных углов образуют развернутый угол ($180^\circ$), а значит, лежат на одной прямой.

89* Докажите, что если биссектрисы углов ABC и CBD перпендикулярны, то точки А, В и D лежат на одной прямой.

Пусть луч $BE$ является биссектрисой угла $ABC$, а луч $BF$ — биссектрисой угла $CBD$.

По определению биссектрисы угла, она делит угол на две равные части. Таким образом, мы имеем следующие равенства:
$\angle ABE = \angle EBC = \frac{1}{2} \angle ABC$
$\angle CBF = \angle FBD = \frac{1}{2} \angle CBD$

Из этих равенств следует:
$\angle ABC = 2 \cdot \angle EBC$
$\angle CBD = 2 \cdot \angle CBF$

Согласно условию задачи, биссектрисы $BE$ и $BF$ перпендикулярны. Это означает, что угол между ними равен $90^\circ$:
$\angle EBF = 90^\circ$

Углы $ABC$ и $CBD$ являются смежными, поскольку у них общая вершина $B$ и общая сторона $BC$. Угол $\angle EBF$ образован их биссектрисами и состоит из двух частей: $\angle EBC$ и $\angle CBF$.
$\angle EBF = \angle EBC + \angle CBF$
Следовательно, $\angle EBC + \angle CBF = 90^\circ$.

Чтобы доказать, что точки $A$, $B$ и $D$ лежат на одной прямой, нам нужно показать, что угол $ABD$ является развернутым, то есть равен $180^\circ$. Угол $ABD$ представляет собой сумму углов $ABC$ и $CBD$:
$\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD$

Теперь подставим в это выражение формулы для углов $ABC$ и $CBD$ через их половины, которые мы получили ранее:
$\angle ABD = (2 \cdot \angle EBC) + (2 \cdot \angle CBF)$

Вынесем общий множитель $2$ за скобки:
$\angle ABD = 2 \cdot (\angle EBC + \angle CBF)$

Мы уже установили, что сумма углов в скобках $\angle EBC + \angle CBF$ равна $90^\circ$. Подставим это значение в наше уравнение:
$\angle ABD = 2 \cdot 90^\circ = 180^\circ$

Так как угол $ABD$ равен $180^\circ$, он является развернутым углом. Это означает, что его стороны, лучи $BA$ и $BD$, лежат на одной прямой. Следовательно, точки $A$, $B$ и $D$ лежат на одной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.

90 Даны две пересекающиеся прямые а и b и точка А, не лежащая на этих прямых. Через точку А проведены прямые m и n так, что m ⊥ a, n ⊥ b. Докажите, что прямые m и n не совпадают.

Для доказательства используем метод от противного. Предположим, что прямые $m$ и $n$ совпадают. Обозначим эту общую прямую буквой $k$.

По условию задачи, прямая $m$ перпендикулярна прямой $a$ ($m \perp a$), а прямая $n$ перпендикулярна прямой $b$ ($n \perp b$).

Так как мы предположили, что $m$ и $n$ — это одна и та же прямая $k$, то получается, что прямая $k$ перпендикулярна и прямой $a$, и прямой $b$. То есть, $k \perp a$ и $k \perp b$.

В планиметрии существует теорема: если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны друг другу.

Из того, что прямые $a$ и $b$ перпендикулярны одной и той же прямой $k$, следует, что прямые $a$ и $b$ должны быть параллельны: $a \parallel b$.

Однако это утверждение противоречит исходному условию задачи, где сказано, что прямые $a$ и $b$ пересекаются. Пересекающиеся прямые не могут быть параллельными.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямые $m$ и $n$ не могут совпадать.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство строится на методе от противного. Если предположить, что прямые $m$ и $n$ совпадают, то из этого следует, что прямые $a$ и $b$ перпендикулярны одной и той же прямой. Согласно теореме, в таком случае прямые $a$ и $b$ должны быть параллельны. Это противоречит условию задачи, в котором говорится, что прямые $a$ и $b$ пересекаются. Следовательно, исходное предположение неверно, и прямые $m$ и $n$ не совпадают.

91 Найдите площадь и периметр прямоугольника, если прямоугольник сложили: а) из двух квадратов с периметрами 8 см; б) из трёх квадратов с периметрами 8 см; в) из четырёх квадратов с периметрами 8 см; г) из n (n — натуральное число, большее 1) квадратов с периметрами 8 см.

Для решения задачи сначала определим параметры одного квадрата. Периметр квадрата ($P_{кв}$) со стороной $a$ вычисляется по формуле $P_{кв} = 4a$. По условию $P_{кв} = 8 \text{ см}$, значит $4a = 8 \text{ см}$, откуда сторона квадрата $a = \frac{8}{4} = 2 \text{ см}$. Площадь одного такого квадрата ($S_{кв}$) равна $S_{кв} = a^2 = 2^2 = 4 \text{ см}^2$. Будем считать, что итоговый прямоугольник получается путем сложения квадратов в один ряд.

а) Прямоугольник сложен из двух квадратов. Размеры полученного прямоугольника: длина $l = 2 \times a = 2 \times 2 = 4 \text{ см}$ и ширина $w = a = 2 \text{ см}$.

Площадь этого прямоугольника: $S = l \times w = 4 \times 2 = 8 \text{ см}^2$.

Периметр этого прямоугольника: $P = 2(l + w) = 2(4 + 2) = 12 \text{ см}$.

Ответ: площадь 8 см², периметр 12 см.

б) Прямоугольник сложен из трёх квадратов. Размеры полученного прямоугольника: длина $l = 3 \times a = 3 \times 2 = 6 \text{ см}$ и ширина $w = a = 2 \text{ см}$.

Площадь этого прямоугольника: $S = l \times w = 6 \times 2 = 12 \text{ см}^2$.

Периметр этого прямоугольника: $P = 2(l + w) = 2(6 + 2) = 16 \text{ см}$.

Ответ: площадь 12 см², периметр 16 см.

в) Прямоугольник сложен из четырёх квадратов. Размеры полученного прямоугольника: длина $l = 4 \times a = 4 \times 2 = 8 \text{ см}$ и ширина $w = a = 2 \text{ см}$.

Площадь этого прямоугольника: $S = l \times w = 8 \times 2 = 16 \text{ см}^2$.

Периметр этого прямоугольника: $P = 2(l + w) = 2(8 + 2) = 20 \text{ см}$.

Ответ: площадь 16 см², периметр 20 см.

г) Прямоугольник сложен из $n$ квадратов. Размеры полученного прямоугольника: длина $l = n \times a = 2n \text{ см}$ и ширина $w = a = 2 \text{ см}$.

Площадь этого прямоугольника: $S = l \times w = 2n \times 2 = 4n \text{ см}^2$.

Периметр этого прямоугольника: $P = 2(l + w) = 2(2n + 2) = 4n + 4 = 4(n+1) \text{ см}$.

Ответ: площадь $4n$ см², периметр $4(n+1)$ см.