Страница 22 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

49 Градусные меры двух углов равны. Равны ли сами углы?

В геометрии два угла считаются равными (или конгруэнтными), если их можно совместить наложением так, чтобы они полностью совпали.

Градусная мера угла является числовой характеристикой, которая описывает величину "раскрытия" между лучами, образующими угол. Именно эта величина и определяет, равны ли углы. Если градусные меры двух углов, скажем $\angle 1$ и $\angle 2$, одинаковы, это означает, что их "раскрытие" идентично.

Например, если градусная мера $\angle 1$ равна $45^\circ$ и градусная мера $\angle 2$ также равна $45^\circ$, то по определению равенства углов в геометрии эти углы равны. Мы можем мысленно (или физически, если они нарисованы на прозрачных листах) переместить один угол так, чтобы его вершина и один из лучей совпали с вершиной и лучом другого угла. Поскольку их градусные меры равны, вторые лучи также совпадут.

Таким образом, равенство градусных мер является необходимым и достаточным условием для равенства самих углов.

Ответ: да, если градусные меры двух углов равны, то и сами углы равны.

50 На рисунке 43 изображены лучи с общим началом О.

а) Найдите градусные меры углов AОХ, BOX, AOB, СОВ, DOX;

б) назовите углы, равные 20°;

в) назовите равные углы;

г) назовите все углы со стороной ОА и найдите их градусные меры.

а) Для нахождения градусных мер углов воспользуемся шкалой транспортира. Примем, что луч OX совпадает с отметкой $0^\circ$ на внутренней шкале. Тогда положения других лучей будут следующими:

• Луч OA: $40^\circ$
• Луч OB: $70^\circ$
• Луч OC: $100^\circ$
• Луч OD: $130^\circ$

Теперь вычислим градусные меры требуемых углов. Градусная мера угла между двумя лучами равна модулю разности их координатных углов.

• $\angle AOX$: Угол между лучами OA ($40^\circ$) и OX ($0^\circ$).
  $\angle AOX = |40^\circ - 0^\circ| = 40^\circ$.
• $\angle BOX$: Угол между лучами OB ($70^\circ$) и OX ($0^\circ$).
  $\angle BOX = |70^\circ - 0^\circ| = 70^\circ$.
• $\angle AOB$: Угол между лучами OA ($40^\circ$) и OB ($70^\circ$).
  $\angle AOB = |70^\circ - 40^\circ| = 30^\circ$.
• $\angle COB$: Угол между лучами OC ($100^\circ$) и OB ($70^\circ$).
  $\angle COB = |100^\circ - 70^\circ| = 30^\circ$.
• $\angle DOX$: Угол между лучами OD ($130^\circ$) и OX ($0^\circ$).
  $\angle DOX = |130^\circ - 0^\circ| = 130^\circ$.

Ответ: $\angle AOX = 40^\circ$, $\angle BOX = 70^\circ$, $\angle AOB = 30^\circ$, $\angle COB = 30^\circ$, $\angle DOX = 130^\circ$.

б) Чтобы найти углы, равные $20^\circ$, необходимо найти пары лучей, разность показаний которых на транспортире составляет $20^\circ$. Проанализировав положения всех лучей (OX - $0^\circ$, OA - $40^\circ$, OB - $70^\circ$, OC - $100^\circ$, OD - $130^\circ$, OZ - $180^\circ$), вычислим разности между ними. Ни одна из возможных комбинаций лучей не образует угол в $20^\circ$. Например, наименьшие углы между соседними лучами (кроме OX) равны $30^\circ$.
Ответ: На данном рисунке нет углов, равных $20^\circ$.

в) Для нахождения равных углов сравним градусные меры всех возможных углов, образованных данными лучами.

• $\angle AOB = 30^\circ$
• $\angle COB = 30^\circ$
• $\angle DOC = |130^\circ - 100^\circ| = 30^\circ$

Таким образом, мы имеем первую группу равных углов: $\angle AOB = \angle COB = \angle DOC = 30^\circ$.

Проверим другие комбинации:

• $\angle AOC = |100^\circ - 40^\circ| = 60^\circ$
• $\angle BOD = |130^\circ - 70^\circ| = 60^\circ$

Следовательно, есть вторая группа равных углов: $\angle AOC = \angle BOD = 60^\circ$.
Ответ: Равными являются углы: 1) $\angle AOB, \angle COB, \angle DOC$ (по $30^\circ$); 2) $\angle AOC, \angle BOD$ (по $60^\circ$).

г) Углы со стороной OA - это углы, одним из лучей которых является луч OA. Второй луч может быть любым другим из изображенных: OX, OB, OC, OD, OZ. Найдем эти углы и их градусные меры.

• Угол с лучом OX: $\angle AOX = |40^\circ - 0^\circ| = 40^\circ$.
• Угол с лучом OB: $\angle AOB = |70^\circ - 40^\circ| = 30^\circ$.
• Угол с лучом OC: $\angle AOC = |100^\circ - 40^\circ| = 60^\circ$.
• Угол с лучом OD: $\angle AOD = |130^\circ - 40^\circ| = 90^\circ$.
• Угол с лучом OZ (луч OZ соответствует отметке $180^\circ$): $\angle AOZ = |180^\circ - 40^\circ| = 140^\circ$.

Ответ: Углы со стороной OA и их градусные меры: $\angle AOX = 40^\circ$, $\angle AOB = 30^\circ$, $\angle AOC = 60^\circ$, $\angle AOD = 90^\circ$, $\angle AOZ = 140^\circ$.

51 Луч ОЕ делит угол AOB на два угла. Найдите угол AOB, если:

a) ∠AOE = 44°, ∠EOB = 77°;

б) ∠AOE = 12°37′, ∠EOB = 108°25′.

а) По условию задачи, луч OE делит угол AOB на два угла: $\angle AOE$ и $\angle EOB$. Это означает, что угол AOB является суммой этих двух углов. Данное утверждение следует из аксиомы измерения углов.
Математически это можно записать так:
$\angle AOB = \angle AOE + \angle EOB$
Нам даны значения углов:
$\angle AOE = 44^\circ$
$\angle EOB = 77^\circ$
Подставим эти значения в формулу и выполним сложение:
$\angle AOB = 44^\circ + 77^\circ = 121^\circ$
Ответ: $121^\circ$.

б) Решение аналогично предыдущему пункту. Угол AOB равен сумме углов $\angle AOE$ и $\angle EOB$.
$\angle AOB = \angle AOE + \angle EOB$
Даны значения углов в градусах и минутах:
$\angle AOE = 12^\circ37'$
$\angle EOB = 108^\circ25'$
Для нахождения суммы сложим градусы с градусами, а минуты с минутами:
$\angle AOB = (12^\circ + 108^\circ) + (37' + 25')$
Сумма градусов: $12^\circ + 108^\circ = 120^\circ$.
Сумма минут: $37' + 25' = 62'$.
Мы знаем, что в одном градусе 60 минут ($1^\circ = 60'$). Поэтому мы можем преобразовать 62 минуты:
$62' = 60' + 2' = 1^\circ2'$
Теперь добавим полученный градус к сумме градусов:
$\angle AOB = 120^\circ + 1^\circ2' = 121^\circ2'$
Ответ: $121^\circ2'$.

52 Луч ОС делит угол AOB на два угла. Найдите угол СОВ, если ∠AOB = 78°, а угол АОС на 18° меньше угла ВОС.

По условию задачи, луч OC делит угол AOB на два угла, AOC и COB. Это означает, что сумма градусных мер этих двух углов равна градусной мере угла AOB. Запишем это в виде равенства:

$\angle AOC + \angle COB = \angle AOB$

Известно, что $\angle AOB = 78^\circ$. Также дано, что угол AOC на $18^\circ$ меньше угла BOC (что то же самое, что и угол COB). Запишем это соотношение:

$\angle AOC = \angle COB - 18^\circ$

Для решения задачи введем переменную. Пусть градусная мера искомого угла COB равна $x$. Тогда $\angle COB = x$.

Исходя из условия, градусная мера угла AOC будет равна $x - 18^\circ$.

Теперь подставим выражения для углов в наше первое равенство:

$(x - 18^\circ) + x = 78^\circ$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$2x - 18^\circ = 78^\circ$

Прибавим $18^\circ$ к обеим частям уравнения:

$2x = 78^\circ + 18^\circ$

$2x = 96^\circ$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{96^\circ}{2}$

$x = 48^\circ$

Таким образом, градусная мера угла COB составляет $48^\circ$.

Выполним проверку. Если $\angle COB = 48^\circ$, то $\angle AOC = 48^\circ - 18^\circ = 30^\circ$. Сумма углов $\angle AOC + \angle COB = 30^\circ + 48^\circ = 78^\circ$, что соответствует данному в условии значению угла AOB. Решение верное.

Ответ: $48^\circ$.

53 Луч ОС делит угол AOB на два угла. Найдите угол АОС, если ∠AOB = 155°, a угол АОС на 15° больше угла СОВ.

По условию задачи луч $OC$ делит угол $AOB$ на два угла: $\angle AOC$ и $\angle COB$. Следовательно, сумма их градусных мер равна градусной мере угла $AOB$.

$\angle AOC + \angle COB = \angle AOB$

Нам известно, что $\angle AOB = 155^\circ$. Также дано, что угол $AOC$ на $15^\circ$ больше угла $COB$.

Обозначим градусную меру угла $COB$ переменной $x$.

$\angle COB = x$

Тогда градусная мера угла $AOC$ будет равна:

$\angle AOC = x + 15^\circ$

Теперь составим уравнение, подставив выражения для углов в исходную формулу:

$(x + 15^\circ) + x = 155^\circ$

Решим это уравнение относительно $x$:

$2x + 15^\circ = 155^\circ$

Перенесем $15^\circ$ в правую часть уравнения:

$2x = 155^\circ - 15^\circ$

$2x = 140^\circ$

Найдем $x$:

$x = \frac{140^\circ}{2}$

$x = 70^\circ$

Мы нашли градусную меру угла $COB$, она равна $70^\circ$.

Теперь найдем градусную меру угла $AOC$, как того требует условие задачи:

$\angle AOC = x + 15^\circ = 70^\circ + 15^\circ = 85^\circ$

Ответ: $85^\circ$.

54 Угол AOB является частью угла АОС. Известно, что ∠AOC = 108°, ∠AOB = 3∠BOC. Найдите угол AOB.

Поскольку угол $AOB$ является частью угла $AOC$, это означает, что луч $OB$ проходит между лучами $OA$ и $OC$. Согласно основному свойству измерения углов, градусная мера угла $AOC$ равна сумме градусных мер углов $AOB$ и $BOC$.

Математически это можно записать так:

$\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC$

Из условия задачи нам даны следующие значения:

$\angle AOC = 108^\circ$

$\angle AOB = 3 \cdot \angle BOC$

Для решения задачи введем переменную. Пусть $\angle BOC = x$. Тогда, согласно условию, $\angle AOB = 3x$.

Теперь подставим эти выражения в нашу первую формулу:

$108^\circ = 3x + x$

Решим полученное уравнение:

$108 = 4x$

$x = \frac{108}{4}$

$x = 27^\circ$

Мы нашли, что $\angle BOC = 27^\circ$.

Теперь найдем величину угла $AOB$, которая и является целью задачи:

$\angle AOB = 3x = 3 \cdot 27^\circ = 81^\circ$

Ответ: $81^\circ$.

55 На рисунке 44 угол AOD — прямой, ∠AOB =∠BOC=∠COD. Найдите угол, образованный биссектрисами углов AOB и COD.

По условию задачи дано, что угол $AOD$ — прямой, следовательно, его градусная мера равна $90°$. Также известно, что лучи $OB$ и $OC$ делят угол $AOD$ на три равных угла: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD$.

Поскольку угол $AOD$ состоит из суммы трех углов $AOB$, $BOC$ и $COD$, и эти три угла равны между собой, мы можем найти величину каждого из них, разделив общий угол на 3:
$\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \frac{\angle AOD}{3}$
$\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \frac{90°}{3} = 30°$.

Пусть $OM$ — биссектриса угла $\angle AOB$, а $ON$ — биссектриса угла $\angle COD$. Нам нужно найти величину угла $\angle MON$.

Биссектриса делит угол пополам. Следовательно:
Угол $\angle MOB$ составляет половину угла $\angle AOB$: $\angle MOB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{30°}{2} = 15°$.
Угол $\angle CON$ составляет половину угла $\angle COD$: $\angle CON = \frac{1}{2} \angle COD = \frac{30°}{2} = 15°$.

Искомый угол $\angle MON$ является суммой трех углов: $\angle MOB$, $\angle BOC$ и $\angle CON$.
$\angle MON = \angle MOB + \angle BOC + \angle CON$
Подставим найденные значения в формулу:
$\angle MON = 15° + 30° + 15° = 60°$.

Ответ: $60°$.

56 На рисунке 45 луч OV является биссектрисой угла ZOY, а луч OU — биссектрисой угла XOY. Найдите угол XOZ, если ∠UOV=80°.

По условию задачи луч OV является биссектрисой угла ZOY. Это означает, что он делит угол ZOY на два равных угла: $?ZOV = ?VOY$. Следовательно, можно записать, что $?VOY = \frac{1}{2}?ZOY$.

Аналогично, луч OU является биссектрисой угла XOY, что означает $?XOU = ?UOY$. Следовательно, $?UOY = \frac{1}{2}?XOY$.

Угол UOV, который нам дан, состоит из суммы углов UOY и VOY. Запишем это в виде формулы:

$?UOV = ?UOY + ?VOY$

Теперь подставим в эту формулу выражения для $?UOY$ и $?VOY$, которые мы получили из определения биссектрис:

$?UOV = \frac{1}{2}?XOY + \frac{1}{2}?ZOY$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$?UOV = \frac{1}{2}(?XOY + ?ZOY)$

Из рисунка видно, что сумма углов $?XOY$ и $?ZOY$ равна искомому углу $?XOZ$. То есть, $?XOZ = ?XOY + ?ZOY$. Заменим сумму в скобках на $?XOZ$:

$?UOV = \frac{1}{2}?XOZ$

Теперь мы можем выразить искомый угол $?XOZ$:

$?XOZ = 2 \cdot ?UOV$

Подставим известное значение $?UOV = 80°$:

$?XOZ = 2 \cdot 80° = 160°$

Ответ: $160°$.

57 Луч l является биссектрисой неразвёрнутого угла hk. Может ли угол hl быть прямым или тупым?

По условию задачи, луч $l$ является биссектрисой неразвёрнутого угла $hk$. Обозначим величину угла $hk$ как $\angle hk$.

Неразвёрнутый угол — это угол, градусная мера которого меньше $180^\circ$ и больше $0^\circ$. Таким образом, $0^\circ < \angle hk < 180^\circ$.

Поскольку луч $l$ — биссектриса угла $hk$, он делит этот угол на два равных угла: $\angle hl$ и $\angle lk$. Следовательно, величина угла $hl$ равна половине величины угла $hk$: $\angle hl = \frac{1}{2} \angle hk$.

Теперь рассмотрим два случая, о которых спрашивается в задаче.

Может ли угол hl быть прямым?

Прямой угол равен $90^\circ$. Если предположить, что угол $hl$ — прямой, то $\angle hl = 90^\circ$.

Тогда величина исходного угла $hk$ будет равна: $\angle hk = 2 \cdot \angle hl = 2 \cdot 90^\circ = 180^\circ$.

Угол, равный $180^\circ$, называется развёрнутым. Это противоречит условию, что угол $hk$ — неразвёрнутый. Следовательно, угол $hl$ не может быть прямым.

Ответ: нет, не может.

Может ли угол hl быть тупым?

Тупой угол — это угол, который больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Если предположить, что угол $hl$ — тупой, то $90^\circ < \angle hl < 180^\circ$.

Тогда для величины исходного угла $hk$ получим: $\angle hk = 2 \cdot \angle hl$. Поскольку $\angle hl > 90^\circ$, то $\angle hk > 2 \cdot 90^\circ$, то есть $\angle hk > 180^\circ$.

Это означает, что угол $hk$ будет больше развёрнутого угла, что также противоречит условию, по которому угол $hk$ является неразвёрнутым ($0^\circ < \angle hk < 180^\circ$). Следовательно, угол $hl$ не может быть тупым.

Ответ: нет, не может.