Номер 50, страница 22 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 5. Измерение углов. 10. Измерение углов на местности. Глава 1. Начальные геометрические сведения - номер 50, страница 22.

50 На рисунке 43 изображены лучи с общим началом О.

а) Найдите градусные меры углов AОХ, BOX, AOB, СОВ, DOX;

б) назовите углы, равные 20°;

в) назовите равные углы;

г) назовите все углы со стороной ОА и найдите их градусные меры.

а) Для нахождения градусных мер углов воспользуемся шкалой транспортира. Примем, что луч OX совпадает с отметкой $0^\circ$ на внутренней шкале. Тогда положения других лучей будут следующими:

• Луч OA: $40^\circ$
• Луч OB: $70^\circ$
• Луч OC: $100^\circ$
• Луч OD: $130^\circ$

Теперь вычислим градусные меры требуемых углов. Градусная мера угла между двумя лучами равна модулю разности их координатных углов.

• $\angle AOX$: Угол между лучами OA ($40^\circ$) и OX ($0^\circ$).
  $\angle AOX = |40^\circ - 0^\circ| = 40^\circ$.
• $\angle BOX$: Угол между лучами OB ($70^\circ$) и OX ($0^\circ$).
  $\angle BOX = |70^\circ - 0^\circ| = 70^\circ$.
• $\angle AOB$: Угол между лучами OA ($40^\circ$) и OB ($70^\circ$).
  $\angle AOB = |70^\circ - 40^\circ| = 30^\circ$.
• $\angle COB$: Угол между лучами OC ($100^\circ$) и OB ($70^\circ$).
  $\angle COB = |100^\circ - 70^\circ| = 30^\circ$.
• $\angle DOX$: Угол между лучами OD ($130^\circ$) и OX ($0^\circ$).
  $\angle DOX = |130^\circ - 0^\circ| = 130^\circ$.

Ответ: $\angle AOX = 40^\circ$, $\angle BOX = 70^\circ$, $\angle AOB = 30^\circ$, $\angle COB = 30^\circ$, $\angle DOX = 130^\circ$.

б) Чтобы найти углы, равные $20^\circ$, необходимо найти пары лучей, разность показаний которых на транспортире составляет $20^\circ$. Проанализировав положения всех лучей (OX - $0^\circ$, OA - $40^\circ$, OB - $70^\circ$, OC - $100^\circ$, OD - $130^\circ$, OZ - $180^\circ$), вычислим разности между ними. Ни одна из возможных комбинаций лучей не образует угол в $20^\circ$. Например, наименьшие углы между соседними лучами (кроме OX) равны $30^\circ$.
Ответ: На данном рисунке нет углов, равных $20^\circ$.

в) Для нахождения равных углов сравним градусные меры всех возможных углов, образованных данными лучами.

• $\angle AOB = 30^\circ$
• $\angle COB = 30^\circ$
• $\angle DOC = |130^\circ - 100^\circ| = 30^\circ$

Таким образом, мы имеем первую группу равных углов: $\angle AOB = \angle COB = \angle DOC = 30^\circ$.

Проверим другие комбинации:

• $\angle AOC = |100^\circ - 40^\circ| = 60^\circ$
• $\angle BOD = |130^\circ - 70^\circ| = 60^\circ$

Следовательно, есть вторая группа равных углов: $\angle AOC = \angle BOD = 60^\circ$.
Ответ: Равными являются углы: 1) $\angle AOB, \angle COB, \angle DOC$ (по $30^\circ$); 2) $\angle AOC, \angle BOD$ (по $60^\circ$).

г) Углы со стороной OA - это углы, одним из лучей которых является луч OA. Второй луч может быть любым другим из изображенных: OX, OB, OC, OD, OZ. Найдем эти углы и их градусные меры.

• Угол с лучом OX: $\angle AOX = |40^\circ - 0^\circ| = 40^\circ$.
• Угол с лучом OB: $\angle AOB = |70^\circ - 40^\circ| = 30^\circ$.
• Угол с лучом OC: $\angle AOC = |100^\circ - 40^\circ| = 60^\circ$.
• Угол с лучом OD: $\angle AOD = |130^\circ - 40^\circ| = 90^\circ$.
• Угол с лучом OZ (луч OZ соответствует отметке $180^\circ$): $\angle AOZ = |180^\circ - 40^\circ| = 140^\circ$.

Ответ: Углы со стороной OA и их градусные меры: $\angle AOX = 40^\circ$, $\angle AOB = 30^\circ$, $\angle AOC = 60^\circ$, $\angle AOD = 90^\circ$, $\angle AOZ = 140^\circ$.