Номер 48, страница 21 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 5. Измерение углов. 10. Измерение углов на местности. Глава 1. Начальные геометрические сведения - номер 48, страница 21.

48 Начертите угол AOB и с помощью транспортира проведите луч ОС так, чтобы луч ОА являлся биссектрисой угла ВОС. Всегда ли это выполнимо?

Начертите угол АОВ и с помощью транспортира проведите луч ОС так, чтобы луч ОА являлся биссектрисой угла ВОС.

Порядок действий для построения:
1. Начертите произвольный угол $AOB$.
2. Используя транспортир, измерьте градусную меру угла $AOB$. Обозначим ее как $\alpha$.
3. По условию, луч $OA$ должен быть биссектрисой угла $BOC$. Это значит, что он делит угол $BOC$ на два равных угла: $\angle BOA = \angle AOC$.
4. Следовательно, нам нужно построить угол $AOC$ с градусной мерой $\alpha$, отложив его от луча $OA$ в полуплоскость, не содержащую луч $OB$. Для этого приложите транспортир центром к вершине $O$, совместите нулевую отметку с лучом $OA$ и отметьте точку $C$ на делении, соответствующем углу $\alpha$.
5. Проведите луч $OC$ из вершины $O$ через точку $C$.
В результате построенный луч $OC$ образует с лучом $OB$ угол $BOC$, биссектрисой которого является луч $OA$. Величина угла $BOC$ будет равна $2\alpha$.
Ответ: Построение выполняется путем измерения угла $AOB$ и откладывания от луча $OA$ равного ему угла $AOC$ так, чтобы лучи $OB$ и $OC$ лежали в разных полуплоскостях относительно прямой $OA$.

Всегда ли это выполнимо?

Нет, данное построение выполнимо не всегда. Возможность построения зависит от величины исходного угла $AOB$.
По построению, луч $OA$ является биссектрисой угла $BOC$, поэтому $\angle BOC = 2 \cdot \angle AOB$. В геометрии на плоскости величина угла не может превышать $360^\circ$ (полный угол). Следовательно, для выполнимости построения необходимо, чтобы выполнялось неравенство $2 \cdot \angle AOB \le 360^\circ$, что равносильно $\angle AOB \le 180^\circ$.
Таким образом, если исходный угол $AOB$ острый, прямой, тупой или развернутый (то есть $\angle AOB \le 180^\circ$), то построение возможно. Если же угол $AOB$ является рефлексным (больше развернутого, $\angle AOB > 180^\circ$), то его удвоенная величина превысит $360^\circ$, и такое построение в рамках планиметрии выполнить невозможно.
Ответ: Нет, это выполнимо только в том случае, если величина угла $AOB$ не превышает $180^\circ$ ($\angle AOB \le 180^\circ$).