Номер 42, страница 18 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 4. Измерение отрезков. 8. Единицы измерения. Измерительные инструменты. Глава 1. Начальные геометрические сведения - номер 42, страница 18.

42 Отрезок, длина которого равна а, разделён произвольной точкой на два отрезка. Найдите расстояние между серединами этих отрезков.

Пусть дан отрезок, обозначим его концы как A и B. Длина этого отрезка AB по условию равна $a$.

Внутри отрезка AB выбрана произвольная точка C. Эта точка делит отрезок AB на два меньших отрезка: AC и CB.

Обозначим длину первого отрезка AC через $x$. Тогда длина второго отрезка CB будет равна разности длин всего отрезка и первого отрезка, то есть $CB = AB - AC = a - x$.

Нам необходимо найти расстояние между серединами отрезков AC и CB.

Пусть точка M является серединой отрезка AC. Тогда длина отрезка MC (расстояние от точки C до середины M) составляет половину длины отрезка AC:

$MC = \frac{AC}{2} = \frac{x}{2}$

Пусть точка N является серединой отрезка CB. Тогда длина отрезка CN (расстояние от точки C до середины N) составляет половину длины отрезка CB:

$CN = \frac{CB}{2} = \frac{a - x}{2}$

Искомое расстояние между серединами M и N — это длина отрезка MN. Так как точки M, C и N лежат на одной прямой и точка C находится между M и N, то длина отрезка MN равна сумме длин отрезков MC и CN.

$MN = MC + CN$

Теперь подставим выражения для длин MC и CN в эту формулу:

$MN = \frac{x}{2} + \frac{a - x}{2}$

Сложим дроби с общим знаменателем:

$MN = \frac{x + a - x}{2} = \frac{a}{2}$

Результат показывает, что расстояние между серединами двух отрезков не зависит от положения точки C, которая делит исходный отрезок, и всегда равно половине длины исходного отрезка.

Ответ: $\frac{a}{2}$