Страница 18 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

33 Точка В делит отрезок АС на два отрезка. Найдите длину отрезка АС, если AB = 7,8 см, ВС = 25 мм.

Согласно условию задачи, точка В лежит на отрезке АС. Это означает, что длина всего отрезка АС равна сумме длин его частей, отрезков АВ и ВС. Математически это можно записать так:

$AC = AB + BC$

Длины отрезков даны в разных единицах измерения: АВ в сантиметрах (см), а ВС в миллиметрах (мм). Для того чтобы их сложить, необходимо привести их к одной единице измерения. Переведем длину отрезка ВС в сантиметры.

Мы знаем, что в одном сантиметре содержится 10 миллиметров:

$1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$

Следовательно, чтобы перевести миллиметры в сантиметры, нужно разделить значение на 10:

$BC = 25 \text{ мм} = \frac{25}{10} \text{ см} = 2,5 \text{ см}$

Теперь, когда обе длины выражены в сантиметрах, мы можем найти длину отрезка АС:

$AC = 7,8 \text{ см} + 2,5 \text{ см} = 10,3 \text{ см}$

Ответ: 10,3 см.

34 Точка В делит отрезок АС на два отрезка. Найдите длину отрезка ВС, если:

а) AB = 3,7 см, АС = 7,2 см;

б) AB = 4 мм, АС = 4 см.

а)

Поскольку точка B делит отрезок AC, она лежит между точками A и C. Длина всего отрезка AC равна сумме длин его частей, отрезков AB и BC. Это основное свойство измерения отрезков, которое можно записать в виде формулы:
$AC = AB + BC$
Чтобы найти длину неизвестного отрезка BC, нужно из длины всего отрезка AC вычесть длину известной части AB:
$BC = AC - AB$
Подставим числовые значения из условия: $AB = 3,7$ см и $AC = 7,2$ см.
$BC = 7,2 \text{ см} - 3,7 \text{ см} = 3,5 \text{ см}$
Ответ: 3,5 см.

б)

Аналогично пункту а), используем формулу $BC = AC - AB$.
В данном случае длины отрезков даны в разных единицах измерения: $AB = 4$ мм и $AC = 4$ см. Для проведения вычислений необходимо привести их к одной единице. Переведем сантиметры в миллиметры, используя соотношение $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
$AC = 4 \text{ см} = 4 \times 10 \text{ мм} = 40 \text{ мм}$
Теперь, когда обе длины выражены в миллиметрах, можем найти длину отрезка BC:
$BC = 40 \text{ мм} - 4 \text{ мм} = 36 \text{ мм}$
Этот результат можно также выразить в сантиметрах: $36 \text{ мм} = 3,6 \text{ см}$.
Ответ: 36 мм.

35 Точки А, В и С лежат на одной прямой. Известно, что AB = 12 см, ВС = 13,5 см. Какой может быть длина отрезка АС?

Поскольку в условии задачи не указан порядок расположения точек A, B и C на прямой, существует два возможных варианта их взаимного расположения, которые приводят к разным значениям длины отрезка AC. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Точка B лежит между точками A и C

В этом случае точки на прямой расположены в последовательности A-B-C. Длина отрезка AC будет равна сумме длин составляющих его отрезков AB и BC.

Формула для расчета:
$AC = AB + BC$

Подставляем известные значения длин:
$AC = 12 \text{ см} + 13,5 \text{ см} = 25,5 \text{ см}$

Ответ: $25,5$ см.

Случай 2: Точка A лежит между точками B и C

В этом случае точки на прямой расположены в последовательности B-A-C. Тогда отрезок BC является суммой отрезков BA и AC. Чтобы найти длину отрезка AC, нужно из длины всего отрезка BC вычесть длину его части AB.

Формула для расчета:
$AC = BC - AB$

Подставляем известные значения длин:
$AC = 13,5 \text{ см} - 12 \text{ см} = 1,5 \text{ см}$

Ответ: $1,5$ см.

Примечание: Вариант, когда точка C лежит между A и B, невозможен. В этом случае длина отрезка AC вычислялась бы как $AC = AB - BC = 12 - 13,5 = -1,5$ см. Длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому такое расположение исключено.

36 Точки В, D и М лежат на одной прямой. Известно, что BD = 7 см, MD = 16 см. Каким может быть расстояние ВМ?

Поскольку по условию задачи точки B, D и M лежат на одной прямой, существует несколько возможных вариантов их взаимного расположения. Чтобы найти все возможные значения для расстояния BM, необходимо рассмотреть каждый из этих вариантов.

Случай 1: Точка D лежит между точками B и M

При таком расположении точек, которое можно схематично изобразить как B — D — M, длина отрезка BM будет равна сумме длин отрезков BD и DM.
Математически это записывается формулой:
$BM = BD + DM$
Подставив известные значения из условия, получаем:
$BM = 7 \text{ см} + 16 \text{ см} = 23 \text{ см}$

Ответ: 23 см.

Случай 2: Точка B лежит между точками D и M

При таком расположении точек (схема D — B — M) отрезок DM состоит из двух частей: DB и BM. Следовательно, длина всего отрезка DM равна сумме длин его частей.
Математически это записывается формулой:
$DM = DB + BM$
Чтобы найти искомое расстояние BM, необходимо вычесть из длины отрезка DM длину отрезка DB:
$BM = DM - DB$
Подставляем известные значения:
$BM = 16 \text{ см} - 7 \text{ см} = 9 \text{ см}$

Ответ: 9 см.

Случай 3: Точка M лежит между точками B и D

Рассмотрим также вариант, когда точка M находится между B и D (схема B — M — D). В этом случае длина отрезка BD должна быть равна сумме длин отрезков BM и MD:
$BD = BM + MD$
Подставим известные значения: $7 \text{ см} = BM + 16 \text{ см}$.
Из этого уравнения следует, что $BM = 7 - 16 = -9$ см. Так как расстояние не может быть отрицательной величиной, данный случай невозможен. Также этот случай противоречит основному свойству отрезка: если точка лежит на отрезке, то расстояние от нее до любого из концов отрезка меньше длины самого отрезка. У нас же $MD = 16$ см, а $BD = 7$ см, что нарушает условие $MD < BD$.

37 Точка С — середина отрезка AB, равного 64 см. На луче СА отмечена точка D так, что CD = 15 см. Найдите длины отрезков BD и DA.

По условию задачи, точка $C$ является серединой отрезка $AB$, длина которого $AB = 64$ см. Это значит, что точка $C$ делит отрезок $AB$ на два равных отрезка: $AC$ и $CB$.

Найдем длину этих отрезков:

$AC = CB = \frac{AB}{2} = \frac{64}{2} = 32$ см.

Далее, по условию, точка $D$ отмечена на луче $CA$. Луч $CA$ начинается в точке $C$ и проходит через точку $A$. Это означает, что точка $D$ лежит на той же прямой, что и $A$ и $C$, и находится по ту же сторону от точки $C$, что и точка $A$.

Нам известно, что $CD = 15$ см. Так как длина $CD$ (15 см) меньше длины $CA$ (32 см), точка $D$ будет расположена между точками $C$ и $A$.

Таким образом, взаимное расположение точек на прямой будет следующим: $B$, $C$, $D$, $A$.

Найдите длину отрезка BD

Отрезок $BD$ состоит из двух смежных отрезков $BC$ и $CD$. Чтобы найти его длину, необходимо сложить длины этих отрезков.

$BD = BC + CD$

Подставляем известные значения:

$BD = 32 \text{ см} + 15 \text{ см} = 47$ см.

Ответ: Длина отрезка $BD$ равна 47 см.

Найдите длину отрезка DA

Так как точка $D$ лежит между точками $C$ и $A$, отрезок $CA$ состоит из двух смежных отрезков $CD$ и $DA$. Чтобы найти длину отрезка $DA$, нужно из длины всего отрезка $CA$ вычесть длину его части $CD$.

$CA = CD + DA$

Отсюда выражаем $DA$:

$DA = CA - CD$

Подставляем известные значения:

$DA = 32 \text{ см} - 15 \text{ см} = 17$ см.

Ответ: Длина отрезка $DA$ равна 17 см.

38 Расстояние между Москвой и Санкт-Петербургом приблизительно равно 650 км. Город Тверь находится между этими городами в 170 км от Москвы. Найдите расстояние между Тверью и Санкт-Петербургом, считая, что все три города расположены на одной прямой.

Для решения задачи представим расположение городов на одной прямой. Обозначим Москву (М), Тверь (Т) и Санкт-Петербург (СП). Согласно условию, все три города расположены на одной прямой, причем Тверь находится между Москвой и Санкт-Петербургом.

Общее расстояние между Москвой и Санкт-Петербургом ($S_{М-СП}$) равно 650 км.
$S_{М-СП} = 650$ км.

Расстояние от Москвы до Твери ($S_{М-Т}$) составляет 170 км.
$S_{М-Т} = 170$ км.

Поскольку города лежат на одной прямой в последовательности М > Т > СП, общее расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга является суммой двух отрезков: от Москвы до Твери и от Твери до Санкт-Петербурга. Это можно записать в виде формулы:
$S_{М-СП} = S_{М-Т} + S_{Т-СП}$

Чтобы найти расстояние между Тверью и Санкт-Петербургом ($S_{Т-СП}$), нужно из общего расстояния ($S_{М-СП}$) вычесть известное расстояние от Москвы до Твери ($S_{М-Т}$):
$S_{Т-СП} = S_{М-СП} - S_{М-Т}$

Подставим числовые значения в формулу и произведем расчет:
$S_{Т-СП} = 650 \text{ км} - 170 \text{ км} = 480 \text{ км}$

Ответ: 480 км.

39 Лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если АС = 5 см, AB = 3 см, ВС = 4 см?

Решение

Если точки А, В и С лежат на одной прямой, то больший из отрезков AB, ВС и АС равен сумме двух других. По условию больший из данных отрезков (отрезок АС) равен 5 см, а сумма двух других (AB + ВС) равна 7 см. Поэтому точки А, В и С не лежат на одной прямой.

Решение

Основное свойство расположения трех точек на одной прямой (аксиома принадлежности точек прямой) гласит: из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Это означает, что если точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой, то длина наибольшего из отрезков $AB$, $BC$, $AC$ должна быть равна сумме длин двух других.

В условии задачи даны длины отрезков:

• $AC = 5$ см
• $AB = 3$ см
• $BC = 4$ см

Сравним длины отрезков, чтобы найти наибольший: $5 > 4$ и $5 > 3$. Следовательно, наибольший отрезок — это $AC$.

Теперь проверим, равна ли длина наибольшего отрезка сумме длин двух других отрезков. Если точки лежат на одной прямой, то точка $B$ должна находиться между точками $A$ и $C$, и должно выполняться равенство:
$AB + BC = AC$

Подставим числовые значения в левую часть равенства:
$AB + BC = 3 \text{ см} + 4 \text{ см} = 7 \text{ см}$

Теперь сравним полученный результат с длиной отрезка $AC$:
$7 \text{ см} \neq 5 \text{ см}$

Поскольку $AB + BC \neq AC$, условие принадлежности трех точек одной прямой не выполняется. Это означает, что точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой.

Стоит заметить, что данные длины сторон удовлетворяют теореме Пифагора: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$. То есть, $AB^2 + BC^2 = AC^2$. Это означает, что точки $A$, $B$ и $C$ являются вершинами прямоугольного треугольника с прямым углом при вершине $B$, что также доказывает, что они не лежат на одной прямой.

Ответ: нет, точки A, B и C не лежат на одной прямой.

40 Точка С — середина отрезка AB, точка О — середина отрезка АС. Найдите:

а) АС, СВ, АО и ОB, если AB = 2 см;

б) AB, АС, АО и ОВ, если СВ = 3,2 м.

а)

Дано, что $AB = 2$ см. Точка C — середина отрезка AB, следовательно, отрезки AC и CB равны, и каждый из них равен половине отрезка AB.

$AC = CB = \frac{AB}{2} = \frac{2 \text{ см}}{2} = 1 \text{ см}$

Точка O — середина отрезка AC. Следовательно, отрезок AO равен половине отрезка AC.

$AO = \frac{AC}{2} = \frac{1 \text{ см}}{2} = 0,5 \text{ см}$

Длина отрезка OB равна сумме длин отрезков OC и CB. Поскольку O — середина AC, то $OC = AO = 0,5$ см.

$OB = OC + CB = 0,5 \text{ см} + 1 \text{ см} = 1,5 \text{ см}$

Ответ: $AC = 1$ см, $CB = 1$ см, $AO = 0,5$ см, $OB = 1,5$ см.

б)

Дано, что $CB = 3,2$ м. Так как точка C — середина отрезка AB, то $AC = CB$.

$AC = 3,2 \text{ м}$

Длина всего отрезка AB равна сумме длин его половин, AC и CB.

$AB = AC + CB = 3,2 \text{ м} + 3,2 \text{ м} = 6,4 \text{ м}$

Точка O — середина отрезка AC, следовательно, AO равно половине AC.

$AO = \frac{AC}{2} = \frac{3,2 \text{ м}}{2} = 1,6 \text{ м}$

Длина отрезка OB равна сумме длин отрезков OC и CB. Так как O — середина AC, то $OC = AO = 1,6$ м.

$OB = OC + CB = 1,6 \text{ м} + 3,2 \text{ м} = 4,8 \text{ м}$

Ответ: $AB = 6,4$ м, $AC = 3,2$ м, $AO = 1,6$ м, $OB = 4,8$ м.

41 На прямой отмечены точки О, A и B так, что ОА = 12 см, ОВ = 9 см. Найдите расстояние между серединами отрезков ОА и ОВ, если точка О:

а) лежит на отрезке AB;

б) не лежит на отрезке AB.

По условию задачи, на прямой отмечены точки $O$, $A$ и $B$ с длинами отрезков $OA = 12$ см и $OB = 9$ см. Пусть $M$ — середина отрезка $OA$, а $N$ — середина отрезка $OB$.

Сначала найдем расстояния от точки $O$ до середин отрезков $M$ и $N$:
Расстояние до середины отрезка $OA$: $OM = \frac{OA}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.
Расстояние до середины отрезка $OB$: $ON = \frac{OB}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$ см.

Теперь рассмотрим два случая расположения точки $O$ относительно отрезка $AB$.

а) лежит на отрезке AB;

Если точка $O$ лежит на отрезке $AB$, то точки $A$ и $B$ находятся по разные стороны от точки $O$. Это значит, что лучи $OA$ и $OB$ направлены в противоположные стороны.

Соответственно, и середины отрезков, точки $M$ и $N$, будут находиться по разные стороны от точки $O$. В этом случае искомое расстояние между серединами $M$ и $N$ будет равно сумме расстояний $OM$ и $ON$.

$MN = OM + ON = 6 \text{ см} + 4,5 \text{ см} = 10,5 \text{ см}$.

Ответ: $10,5$ см.

б) не лежит на отрезке AB.

Если точка $O$ не лежит на отрезке $AB$, то точки $A$ и $B$ находятся по одну сторону от точки $O$. Это значит, что лучи $OA$ и $OB$ сонаправлены (направлены в одну сторону).

Поскольку $OA = 12$ см, а $OB = 9$ см ($OA > OB$), то точка $B$ лежит между точками $O$ и $A$. Порядок расположения точек на прямой будет таким: $O - B - A$.

Соответственно, и середины отрезков, точки $M$ и $N$, будут находиться по одну сторону от точки $O$. В этом случае искомое расстояние между серединами $M$ и $N$ будет равно модулю разности расстояний $OM$ и $ON$.

$MN = |OM - ON| = |6 \text{ см} - 4,5 \text{ см}| = 1,5 \text{ см}$.

Ответ: $1,5$ см.

42 Отрезок, длина которого равна а, разделён произвольной точкой на два отрезка. Найдите расстояние между серединами этих отрезков.

Пусть дан отрезок, обозначим его концы как A и B. Длина этого отрезка AB по условию равна $a$.

Внутри отрезка AB выбрана произвольная точка C. Эта точка делит отрезок AB на два меньших отрезка: AC и CB.

Обозначим длину первого отрезка AC через $x$. Тогда длина второго отрезка CB будет равна разности длин всего отрезка и первого отрезка, то есть $CB = AB - AC = a - x$.

Нам необходимо найти расстояние между серединами отрезков AC и CB.

Пусть точка M является серединой отрезка AC. Тогда длина отрезка MC (расстояние от точки C до середины M) составляет половину длины отрезка AC:

$MC = \frac{AC}{2} = \frac{x}{2}$

Пусть точка N является серединой отрезка CB. Тогда длина отрезка CN (расстояние от точки C до середины N) составляет половину длины отрезка CB:

$CN = \frac{CB}{2} = \frac{a - x}{2}$

Искомое расстояние между серединами M и N — это длина отрезка MN. Так как точки M, C и N лежат на одной прямой и точка C находится между M и N, то длина отрезка MN равна сумме длин отрезков MC и CN.

$MN = MC + CN$

Теперь подставим выражения для длин MC и CN в эту формулу:

$MN = \frac{x}{2} + \frac{a - x}{2}$

Сложим дроби с общим знаменателем:

$MN = \frac{x + a - x}{2} = \frac{a}{2}$

Результат показывает, что расстояние между серединами двух отрезков не зависит от положения точки C, которая делит исходный отрезок, и всегда равно половине длины исходного отрезка.

Ответ: $\frac{a}{2}$

43 Отрезок, равный 28 см, разделён на три неравных отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков 16 см. Найдите длину среднего отрезка.

Обозначим длины трех неравных отрезков, расположенных последовательно, как $L_1$, $L_2$ и $L_3$. Общая длина отрезка составляет 28 см, следовательно, сумма длин его частей равна:

$L_1 + L_2 + L_3 = 28$

Крайними отрезками являются первый ($L_1$) и третий ($L_3$). Расстояние между их серединами, согласно условию, равно 16 см. Это расстояние складывается из половины длины первого отрезка, полной длины среднего отрезка и половины длины третьего отрезка. Математически это выражается так:

$\frac{L_1}{2} + L_2 + \frac{L_3}{2} = 16$

Мы получили систему из двух уравнений. Преобразуем второе уравнение, сгруппировав слагаемые:

$L_2 + \frac{L_1 + L_3}{2} = 16$

Из первого уравнения ($L_1 + L_2 + L_3 = 28$) мы можем выразить сумму длин крайних отрезков:

$L_1 + L_3 = 28 - L_2$

Теперь подставим это выражение ($28 - L_2$) вместо $L_1 + L_3$ во второе уравнение:

$L_2 + \frac{28 - L_2}{2} = 16$

Для решения уравнения относительно $L_2$ (длины среднего отрезка), умножим все его члены на 2:

$2L_2 + (28 - L_2) = 32$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2L_2 + 28 - L_2 = 32$

$L_2 + 28 = 32$

$L_2 = 32 - 28$

$L_2 = 4$

Таким образом, длина среднего отрезка равна 4 см.

Ответ: 4 см.