Страница 13 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

21 На луче с началом О отмечены точки A, В и С так, что точка В лежит между точками О и А, а точка А — между точками О и С. Сравните отрезки ОВ и ОА, ОС и OA, ОВ и ОС.

Для решения задачи проанализируем расположение точек A, B и C на луче с началом в точке O.

1. Условие "точка B лежит между точками O и A" означает, что точка B находится на отрезке OA. Если рассматривать расстояния от начала луча (точки O), то расстояние до точки B будет меньше, чем расстояние до точки A. Это можно записать в виде неравенства для длин отрезков: $OB < OA$.

2. Условие "точка A лежит между точками O и C" означает, что точка A находится на отрезке OC. Следовательно, расстояние от O до A меньше, чем расстояние от O до C. Запишем это в виде неравенства: $OA < OC$.

Объединив эти два неравенства, мы получаем общую цепочку неравенств: $OB < OA < OC$. Это значит, что точки на луче расположены в следующем порядке от его начала: O, B, A, C.

Теперь, основываясь на этом выводе, выполним требуемые сравнения.

OB и OA

Так как точка B лежит между O и A, длина отрезка OB меньше длины отрезка OA.
Ответ: $OB < OA$.

OC и OA

Так как точка A лежит между O и C, длина отрезка OA меньше длины отрезка OC.
Ответ: $OA < OC$.

OB и OC

Из общего порядка расположения точек O, B, A, C следует, что отрезок OB короче отрезка OC. Это также можно вывести из предыдущих сравнений по свойству транзитивности: так как $OB < OA$ и $OA < OC$, то $OB < OC$.
Ответ: $OB < OC$.

22 Точка О является серединой отрезка AB. Можно ли совместить наложением отрезки: а) ОА и ОВ; б) ОА и AB?

а) Два отрезка можно совместить наложением, если они равны, то есть имеют одинаковую длину. По условию задачи, точка $O$ является серединой отрезка $AB$. По определению середины отрезка, она делит его на два равных отрезка: $OA$ и $OB$. Следовательно, длины этих отрезков равны: $OA = OB$. Так как отрезки $OA$ и $OB$ имеют одинаковую длину, их можно совместить наложением.
Ответ: да, можно.

б) Чтобы можно было совместить наложением отрезки $OA$ и $AB$, их длины должны быть равны. Проверим, выполняется ли это условие. Длина всего отрезка $AB$ равна сумме длин его частей, на которые его делит точка $O$: $AB = OA + OB$. Поскольку точка $O$ — середина отрезка $AB$, то, как мы установили в пункте а), $OA = OB$. Мы можем подставить $OA$ вместо $OB$ в формулу длины отрезка $AB$: $AB = OA + OA = 2 \cdot OA$. Таким образом, длина отрезка $AB$ в два раза больше длины отрезка $OA$. Так как $OA \ne 2 \cdot OA$ (при условии, что длина отрезка $AB$ не равна нулю, а значит и $OA > 0$), то длины отрезков $OA$ и $AB$ не равны. Следовательно, совместить их наложением невозможно.
Ответ: нет, нельзя.

23 На рисунке 30 отрезки AB, ВС, CD и DE равны. Укажите: а) середины отрезков АС, АЕ и СЕ; б) отрезок, серединой которого является точка D; в) отрезки, серединой которых является точка С.

а) Для того чтобы найти середины указанных отрезков, воспользуемся условием, что отрезки $AB, BC, CD$ и $DE$ равны. Обозначим их длину как $x$, то есть $AB = BC = CD = DE = x$.

Середина отрезка AC:
Длина отрезка $AC$ равна сумме длин отрезков $AB$ и $BC$.
$AC = AB + BC = x + x = 2x$.
Середина отрезка делит его на две равные части. Точка $B$ делит отрезок $AC$ на два отрезка $AB$ и $BC$, каждый из которых имеет длину $x$. Таким образом, $B$ является серединой отрезка $AC$.

Середина отрезка AE:
Длина отрезка $AE$ равна сумме длин всех четырёх отрезков.
$AE = AB + BC + CD + DE = x + x + x + x = 4x$.
Середина этого отрезка должна находиться на расстоянии $AE/2 = 4x/2 = 2x$ от одного из его концов. Найдём расстояние от точки $A$ до точки $C$: $AC = AB + BC = 2x$. Следовательно, точка $C$ является серединой отрезка $AE$.

Середина отрезка CE:
Длина отрезка $CE$ равна сумме длин отрезков $CD$ и $DE$.
$CE = CD + DE = x + x = 2x$.
Точка $D$ делит отрезок $CE$ на два равных отрезка $CD$ и $DE$, каждый из которых имеет длину $x$. Таким образом, $D$ является серединой отрезка $CE$.

Ответ: середина отрезка $AC$ — точка $B$; середина отрезка $AE$ — точка $C$; середина отрезка $CE$ — точка $D$.

б) Точка является серединой отрезка, если она находится на равном расстоянии от его концов. Нам нужно найти отрезок, серединой которого является точка $D$.

Найдём расстояния от точки $D$ до других точек на прямой. Расстояние до точки $C$ равно $DC = x$. Расстояние до точки $E$ равно $DE = x$.
Поскольку $DC = DE$, точка $D$ равноудалена от точек $C$ и $E$. Следовательно, $D$ — середина отрезка $CE$.

Ответ: точка $D$ является серединой отрезка $CE$.

в) Нам нужно найти отрезки, серединой которых является точка $C$. Точка $C$ должна быть равноудалена от концов этих отрезков.

1. Рассмотрим точки $B$ и $D$. Расстояние от $C$ до $B$ равно $CB = x$. Расстояние от $C$ до $D$ равно $CD = x$. Так как $CB = CD$, точка $C$ является серединой отрезка $BD$.

2. Рассмотрим точки $A$ и $E$. Расстояние от $C$ до $A$ равно $CA = CB + BA = x + x = 2x$. Расстояние от $C$ до $E$ равно $CE = CD + DE = x + x = 2x$. Так как $CA = CE$, точка $C$ является серединой отрезка $AE$.

Ответ: точка $C$ является серединой отрезков $BD$ и $AE$.

24 Луч ОС делит угол AOB на два угла. Сравните углы AOB и АОС.

По условию, луч ОС делит угол АОВ на два угла. Это означает, что луч ОС проходит между сторонами угла АОВ, лучами ОА и ОВ. В результате образуются два новых угла: угол АОС и угол СОВ.

Согласно аксиоме об измерении углов, если луч делит угол на два угла, то градусная мера исходного угла равна сумме градусных мер получившихся углов. Для нашего случая это утверждение можно записать в виде формулы:

$ \angle AOB = \angle AOC + \angle COB $

Так как луч ОС делит угол АОВ, то угол СОВ является самостоятельным углом, и его градусная мера строго больше нуля ($ \angle COB > 0 $). Условие, что луч "делит" угол, подразумевает, что он не совпадает ни с одной из его сторон.

Из равенства $ \angle AOB = \angle AOC + \angle COB $ видно, что угол АОВ равен углу АОС, к которому прибавили положительную величину угла СОВ. Следовательно, величина угла АОВ всегда будет больше величины угла АОС.

Ответ: Угол АОВ больше угла АОС, что можно записать как $ \angle AOB > \angle AOC $.