Страница 8 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1 Проведите прямую, обозначьте её буквой а и отметьте точки А и В, лежащие на этой прямой, и точки Р, Q и R, не лежащие на ней. Опишите взаимное расположение точек А, В, Р, Q, R и прямой a, используя символы ∈ и ∉.

Для решения этой задачи необходимо выполнить описанные в условии построения и затем записать взаимное расположение точек и прямой с помощью математической символики.

Сначала представим, что мы провели прямую линию и обозначили ее строчной буквой a.

Согласно условию, точки A и B лежат на этой прямой. В геометрии говорят, что точки A и B принадлежат прямой a. Для записи этого факта используется специальный символ принадлежности $ \in $. Таким образом, для точек A и B можно записать следующие утверждения:

$ A \in a $

$ B \in a $

Также по условию, точки P, Q и R не лежат на прямой a. Это означает, что они не принадлежат прямой a. Для записи этого факта используется символ непринадлежности $ \notin $, который является перечеркнутым символом принадлежности. Соответственно, для этих точек запись будет следующей:

$ P \notin a $

$ Q \notin a $

$ R \notin a $

Объединив все полученные записи, мы получаем полное описание взаимного расположения всех указанных точек относительно прямой a.

Ответ: $ A \in a $, $ B \in a $, $ P \notin a $, $ Q \notin a $, $ R \notin a $.

2 Отметьте три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, и через каждую пару точек проведите прямую. Сколько прямых получилось?

Согласно условию задачи, необходимо взять три точки, обозначим их A, B и C, которые не лежат на одной прямой. Это означает, что если провести прямую через любые две из этих точек, третья точка на этой прямой лежать не будет. Визуально эти точки образуют вершины треугольника.

Далее, нужно провести прямую через каждую возможную пару этих точек. Перечислим все уникальные пары точек:

• Пара 1: точки A и B
• Пара 2: точки B и C
• Пара 3: точки A и C (или C и A, что определяет ту же пару)

В соответствии с основной аксиомой геометрии, через любые две различные точки можно провести единственную прямую.

1. Через точки A и B проводим первую прямую.

2. Через точки B и C проводим вторую прямую.

3. Через точки A и C проводим третью прямую.

Поскольку точки A, B и C не являются коллинеарными (не лежат на одной прямой), все три построенные прямые будут различными. Таким образом, в результате мы получаем 3 прямые.

Этот результат также можно получить с помощью комбинаторики. Количество прямых, которые можно провести через $n$ точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, равно числу сочетаний из $n$ по 2. Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае, количество точек $n=3$, а для проведения прямой нужно $k=2$ точки. Подставив значения в формулу, получаем: $C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot 1} = 3$

Ответ: 3

3 Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.

Чтобы три прямые пересекались так, чтобы каждые две из них имели точку пересечения, необходимо, чтобы ни одна из прямых не была параллельна другой. Существует два возможных случая расположения таких прямых на плоскости.

Пусть наши три прямые, назовем их $a$, $b$ и $c$, пересекаются в одной общей точке, которую мы обозначим как $O$.

В этом случае условие "каждые две из них пересекались" выполняется:

• Прямая $a$ и прямая $b$ пересекаются в точке $O$.
• Прямая $a$ и прямая $c$ пересекаются в точке $O$.
• Прямая $b$ и прямая $c$ пересекаются в точке $O$.

Поскольку все три пары прямых пересекаются в одной и той же точке, мы получаем только одну точку пересечения.

Ответ: В этом случае получается 1 точка пересечения.

Теперь рассмотрим вариант, когда прямые пересекаются попарно, но не проходят через одну общую точку. Обозначим прямые как $a$, $b$ и $c$.

• Прямая $a$ пересекает прямую $b$ в точке $M$.
• Прямая $a$ пересекает прямую $c$ в точке $N$.
• Прямая $b$ пересекает прямую $c$ в точке $K$.

Так как прямые не имеют общей точки пересечения для всех трех, точки $M$, $N$ и $K$ будут различными. Визуально эти три прямые и три точки их пересечения образуют треугольник.

Ответ: В этом случае получается 3 точки пересечения.

4 Отметьте точки А, В, С, D так, чтобы точки А, В, С лежали на одной прямой, а точка D не лежала на ней. Через каждые две точки проведите прямую. Сколько получилось прямых?

По условию задачи даны четыре точки: A, B, C и D. Точки A, B, C лежат на одной прямой, а точка D находится вне этой прямой. Требуется посчитать, сколько всего различных прямых можно провести через пары этих точек.

Разобьем задачу на два случая:

1. Прямые, проходящие через точки, лежащие на одной линии (A, B, C).
Через любые две точки можно провести только одну прямую. Так как точки A, B и C лежат на одной прямой, то прямые, проведенные через пары (A, B), (B, C) и (A, C), совпадают. Следовательно, эти три точки определяют только одну уникальную прямую.

2. Прямые, проходящие через точку D и одну из точек A, B или C.
• Прямая, проходящая через точки A и D.
• Прямая, проходящая через точки B и D.
• Прямая, проходящая через точки C и D.
Поскольку точка D не лежит на той же прямой, что и A, B, C, каждая из этих трех прямых будет уникальной и отличной от прямой, проходящей через A, B, C. Таким образом, мы получаем еще три прямые.

Сложим количество прямых из обоих случаев: $1 + 3 = 4$.

Задачу можно также решить с помощью формулы сочетаний. Если бы никакие три точки не были коллинеарными, то число прямых, которые можно провести через 4 точки, равнялось бы числу сочетаний из 4 по 2:
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$ прямых.
Однако, у нас есть 3 коллинеарные точки (A, B, C). Эти 3 точки вместо $C_3^2 = 3$ прямых образуют всего одну. Следовательно, мы посчитали на $3 - 1 = 2$ прямые больше, чем есть на самом деле.
Вычтем эту разницу из общего числа: $6 - 2 = 4$ прямые.

Ответ: 4.

5 Проведите прямую а и отметьте на ней точки А и В. Отметьте: а) точки М и N, лежащие на отрезке АВ; б) точки Р и Q, лежащие на прямой а, но не лежащие на отрезке АВ; в) точки R и S, не лежащие на прямой а.

Для решения задачи сначала построим прямую, которую обозначим буквой a. На этой прямой выберем две произвольные различные точки A и B. Часть прямой a, которая находится между точками A и B (включая сами эти точки), называется отрезком AB.

Ниже представлено графическое решение, иллюстрирующее расположение всех точек в соответствии с условиями задачи, а далее следует подробное объяснение для каждого пункта.

а) точки M и N, лежащие на отрезке AB

Отрезок AB — это все точки на прямой a, расположенные между точками A и B, а также сами точки A и B. Следовательно, чтобы точки M и N лежали на отрезке AB, мы должны отметить их в любом месте между A и B. Математически это условие записывается как $M \in [AB]$ и $N \in [AB]$. На рисунке выше точки M и N удовлетворяют этому условию.
Ответ: Точки M и N отмечены на прямой a между точками A и B.

б) точки P и Q, лежащие на прямой a, но не лежащие на отрезке AB

Точки P и Q должны принадлежать прямой a, но находиться за пределами отрезка AB. Это значит, что они могут располагаться на прямой либо до точки A, либо после точки B. Математически: $P \in a$, $P \notin [AB]$ и $Q \in a$, $Q \notin [AB]$. На рисунке точка P расположена на прямой a левее точки A, а точка Q — правее точки B.
Ответ: Точка P отмечена на прямой a на продолжении отрезка AB за точку A. Точка Q отмечена на прямой a на продолжении отрезка AB за точку B.

в) точки R и S, не лежащие на прямой a

Это условие означает, что точки R и S не должны находиться на прямой a. Их можно расположить в любом месте на плоскости, кроме точек, принадлежащих прямой a. Математически: $R \notin a$ и $S \notin a$. На рисунке точка R расположена над прямой a, а точка S — под ней.
Ответ: Точки R и S отмечены на плоскости, но не принадлежат прямой a.

6 Проведите прямую и отметьте на ней три точки. Сколько отрезков получилось на прямой?

Для решения этой задачи необходимо мысленно провести прямую линию и отметить на ней три произвольные точки. Назовем эти точки A, B и C для наглядности.

... A ... B ... C ...

Отрезок в геометрии — это часть прямой, которая ограничена двумя точками (концами отрезка). Чтобы найти общее количество отрезков, нужно найти все возможные уникальные пары точек из трех заданных.

Перечислим все возможные отрезки, которые образуются нашими точками A, B и C:

• Отрезок AB (его концы — точки A и B).
• Отрезок BC (его концы — точки B и C).
• Отрезок AC (его концы — точки A и C).

Подсчитав количество получившихся отрезков, мы видим, что их всего три.

Эту же задачу можно решить и более формальным, математическим способом, используя комбинаторику. Число отрезков, которое можно построить на $n$ точках, равно числу сочетаний из $n$ по 2, так как каждый отрезок однозначно определяется парой точек. Формула для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее число точек $n=3$, а для построения отрезка мы выбираем $k=2$ точки. Подставляем значения в формулу:

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot 1} = 3$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 3 отрезка.