Номер 4, страница 8 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Прямая и отрезок. 2. Провешивание прямой на местности. Глава 1. Начальные геометрические сведения - номер 4, страница 8.

4 Отметьте точки А, В, С, D так, чтобы точки А, В, С лежали на одной прямой, а точка D не лежала на ней. Через каждые две точки проведите прямую. Сколько получилось прямых?

По условию задачи даны четыре точки: A, B, C и D. Точки A, B, C лежат на одной прямой, а точка D находится вне этой прямой. Требуется посчитать, сколько всего различных прямых можно провести через пары этих точек.

Разобьем задачу на два случая:

1. Прямые, проходящие через точки, лежащие на одной линии (A, B, C).
Через любые две точки можно провести только одну прямую. Так как точки A, B и C лежат на одной прямой, то прямые, проведенные через пары (A, B), (B, C) и (A, C), совпадают. Следовательно, эти три точки определяют только одну уникальную прямую.

2. Прямые, проходящие через точку D и одну из точек A, B или C.
• Прямая, проходящая через точки A и D.
• Прямая, проходящая через точки B и D.
• Прямая, проходящая через точки C и D.
Поскольку точка D не лежит на той же прямой, что и A, B, C, каждая из этих трех прямых будет уникальной и отличной от прямой, проходящей через A, B, C. Таким образом, мы получаем еще три прямые.

Сложим количество прямых из обоих случаев: $1 + 3 = 4$.

Задачу можно также решить с помощью формулы сочетаний. Если бы никакие три точки не были коллинеарными, то число прямых, которые можно провести через 4 точки, равнялось бы числу сочетаний из 4 по 2:
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$ прямых.
Однако, у нас есть 3 коллинеарные точки (A, B, C). Эти 3 точки вместо $C_3^2 = 3$ прямых образуют всего одну. Следовательно, мы посчитали на $3 - 1 = 2$ прямые больше, чем есть на самом деле.
Вычтем эту разницу из общего числа: $6 - 2 = 4$ прямые.

Ответ: 4.