Номер 10, страница 9 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Прямая и отрезок. 2. Провешивание прямой на местности. Глава 1. Начальные геометрические сведения - номер 10, страница 9.

10 Начертите пятиугольник, как на рисунке 9. Разбейте его на треугольники так, чтобы у пятиугольника и каждого треугольника были общие стороны. Сколько треугольников может получиться на чертеже? Какие ещё многоугольники получились на чертеже?

Сколько треугольников может получиться на чертеже?

Условие задачи состоит в том, чтобы разбить пятиугольник на треугольники так, чтобы каждый полученный треугольник имел хотя бы одну общую сторону с исходным пятиугольником. Это означает, что ни один из треугольников разбиения не может быть полностью «внутренним», то есть состоящим только из диагоналей. Рассмотрим несколько способов такого разбиения. Обозначим вершины пятиугольника буквами A, B, C, D, E.

Случай 1: 3 треугольника.
Выберем одну из вершин пятиугольника, например, вершину А, и проведем из нее все возможные диагонали к не смежным вершинам. Для пятиугольника это будут диагонали AC и AD. Эти диагонали разделят пятиугольник на 3 треугольника: $\triangle ABC$, $\triangle ACD$ и $\triangle ADE$.
Проверим условие:

• $\triangle ABC$ имеет общие стороны AB и BC с пятиугольником.
• $\triangle ACD$ имеет общую сторону CD с пятиугольником.
• $\triangle ADE$ имеет общие стороны DE и AE с пятиугольником.

Все условия выполнены. Таким образом, может получиться 3 треугольника.

Случай 2: 4 треугольника.
Выберем точку на одной из сторон пятиугольника, например, точку P на стороне DE. Соединим эту точку со всеми вершинами, не лежащими на этой стороне, то есть с вершинами A, B и C. Проведенные отрезки PA, PB, PC разделят пятиугольник на 4 треугольника: $\triangle PAB$, $\triangle PBC$, $\triangle PCD$ и $\triangle PEA$.
Проверим условие:

• $\triangle PAB$ имеет общую сторону AB с пятиугольником.
• $\triangle PBC$ имеет общую сторону BC с пятиугольником.
• $\triangle PCD$ имеет общую сторону CD с пятиугольником.
• $\triangle PEA$ имеет общую сторону EA с пятиугольником.

Все условия выполнены. Таким образом, может получиться 4 треугольника.

Случай 3: 5 треугольников.
Выберем любую точку P внутри пятиугольника и соединим ее отрезками со всеми пятью вершинами: A, B, C, D, E. Это разобьет пятиугольник на 5 треугольников: $\triangle PAB$, $\triangle PBC$, $\triangle PCD$, $\triangle PDE$ и $\triangle PEA$.
Проверим условие:

• $\triangle PAB$ имеет общую сторону AB с пятиугольником.
• $\triangle PBC$ имеет общую сторону BC с пятиугольником.
• $\triangle PCD$ имеет общую сторону CD с пятиугольником.
• $\triangle PDE$ имеет общую сторону DE с пятиугольником.
• $\triangle PEA$ имеет общую сторону EA с пятиугольником.

Все условия выполнены. Таким образом, может получиться 5 треугольников.

Ответ: На чертеже может получиться 3, 4 или 5 треугольников.

Какие ещё многоугольники получились на чертеже?

На чертеже, помимо исходного пятиугольника и треугольников, на которые он разбит, можно увидеть и другие многоугольники. Они образуются путем объединения нескольких смежных треугольников разбиения.

Например:

• В случае разбиения на 3 треугольника ($\triangle ABC$, $\triangle ACD$, $\triangle ADE$) можно выделить четырехугольники. Объединение $\triangle ABC$ и $\triangle ACD$ образует четырехугольник ABCD. Объединение $\triangle ACD$ и $\triangle ADE$ образует четырехугольник ACDE.
• В случае разбиения на 5 треугольников из внутренней точки P ($\triangle PAB$, $\triangle PBC$ и т.д.) можно выделить четырехугольники, составленные из двух соседних треугольников. Например, $\triangle PAB$ и $\triangle PBC$ вместе образуют четырехугольник PABC. Всего можно составить 5 таких четырехугольников (PABC, PBCD, PCDE, PDEA, PEAB).
• В случае разбиения на 4 треугольника из точки P на стороне DE ($\triangle PAB$, $\triangle PBC$, $\triangle PCD$, $\triangle PEA$) также можно составить четырехугольники. Например, объединив $\triangle PAB$ и $\triangle PBC$, получим четырехугольник PABC.

Таким образом, на чертеже, кроме треугольников, получаются также четырехугольники.

Ответ: Кроме треугольников и исходного пятиугольника, на чертеже получились четырехугольники.