Страница 9 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

7 На рисунке 14 изображена прямая, на ней отмечены точки A, B, C и D. Назовите все отрезки: а) на которых лежит точка С; б) на которых не лежит точка В.

а) Чтобы точка $C$ лежала на отрезке, она должна быть либо одним из его концов, либо находиться между его концами. Рассмотрим все возможные отрезки, которые можно составить из точек $A, B, C, D$.

• Отрезок $AC$: точка $C$ является его концом. Следовательно, точка $C$ лежит на отрезке $AC$.
• Отрезок $BC$: точка $C$ является его концом. Следовательно, точка $C$ лежит на отрезке $BC$.
• Отрезок $CD$: точка $C$ является его концом. Следовательно, точка $C$ лежит на отрезке $CD$.
• Отрезок $AD$: точка $C$ лежит между точками $A$ и $D$. Следовательно, точка $C$ лежит на отрезке $AD$.
• Отрезок $BD$: точка $C$ лежит между точками $B$ и $D$. Следовательно, точка $C$ лежит на отрезке $BD$.

Другие отрезки, например $AB$, не содержат точку $C$.
Ответ: $AC, BC, CD, AD, BD$.

б) Чтобы точка $B$ не лежала на отрезке, она не должна быть ни одним из его концов и не должна находиться между его концами. Проверим все возможные отрезки.

• Отрезки, где $B$ является концом: $AB, BC, BD$. На этих отрезках точка $B$ лежит.
• Отрезки, где $B$ лежит между концами: $AC$ (точка $B$ между $A$ и $C$), $AD$ (точка $B$ между $A$ и $D$). На этих отрезках точка $B$ тоже лежит.
• Остается рассмотреть отрезок $CD$. Концы этого отрезка — точки $C$ и $D$. Точка $B$ не является ни одним из концов и не лежит между ними. Следовательно, точка $B$ не лежит на отрезке $CD$.

Ответ: $CD$.

8 Начертите ломаную из трёх звеньев, которая: а) является замкнутой, б) не является замкнутой.

а) является замкнутой

Ломаная линия называется замкнутой, если её начальная точка совпадает с конечной. Чтобы начертить замкнутую ломаную из трёх звеньев, нужно взять три точки, не лежащие на одной прямой, например, $A$, $B$ и $C$. Затем последовательно соединить их отрезками: первое звено — это отрезок $AB$, второе звено — отрезок $BC$, и третье звено — отрезок $CA$. Поскольку конец последнего звена (точка $A$) совпадает с началом первого звена (точка $A$), эта ломаная является замкнутой. Геометрической фигурой, которая представляет собой замкнутую ломаную из трёх звеньев, является треугольник.

Ответ: Замкнутая ломаная из трёх звеньев образует треугольник, как показано на рисунке выше.

б) не является замкнутой

Ломаная линия называется незамкнутой (или открытой), если её начальная точка не совпадает с конечной. Для построения незамкнутой ломаной из трёх звеньев понадобятся четыре различные точки, например, $A$, $B$, $C$ и $D$. Мы последовательно соединяем их тремя отрезками (звеньями): первое звено — $AB$, второе — $BC$, третье — $CD$. Начало всей ломаной находится в точке $A$, а конец — в точке $D$. Так как точки $A$ и $D$ не совпадают, ломаная не является замкнутой.

Ответ: Незамкнутая ломаная из трёх звеньев состоит из трёх последовательно соединённых отрезков, у которых начало первого отрезка не совпадает с концом последнего, как показано на рисунке выше.

9 Цифры почтового индекса записываются по определённым правилам (рис. 15) для удобства распознавания сортировочным автоматом.

Укажите на рисунке цифры, в записи которых используются ломаные. Сколько звеньев у каждой ломаной? Укажите замкнутую ломаную. Как называется многоугольник, образованный на рисунке замкнутой ломаной?

Укажите на рисунке цифры, в записи которых используются ломаные. Ломаная линия — это геометрическая фигура, состоящая из отрезков (звеньев), последовательно соединённых друг с другом в вершинах. Анализируя рисунок, можно заключить, что все изображённые цифры от 1 до 0 являются ломаными линиями, так как каждая из них состоит из двух или более соединённых отрезков.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Сколько звеньев у каждой ломаной? Подсчитаем количество звеньев (отрезков) для каждой цифры-ломаной:
• Цифра 1 состоит из 2 звеньев.
• Цифра 2 состоит из 3 звеньев.
• Цифра 3 состоит из 3 звеньев.
• Цифра 4 состоит из 3 звеньев.
• Цифра 5 состоит из 3 звеньев.
• Цифра 6 состоит из 3 звеньев.
• Цифра 7 состоит из 2 звеньев.
• Цифра 8 состоит из 4 звеньев.
• Цифра 9 состоит из 3 звеньев.
• Цифра 0 состоит из 4 звеньев.
Ответ: 1 – 2 звена; 2 – 3 звена; 3 – 3 звена; 4 – 3 звена; 5 – 3 звена; 6 – 3 звена; 7 – 2 звена; 8 – 4 звена; 9 – 3 звена; 0 – 4 звена.

Укажите замкнутую ломаную. Замкнутая ломаная — это ломаная, у которой начальная и конечная точки совпадают, то есть она образует замкнутый контур. На рисунке этому определению соответствуют цифры, не имеющие "свободных" концов. Это цифры 8 и 0.
Ответ: 8 и 0.

Как называется многоугольник, образованный на рисунке замкнутой ломаной? Замкнутая ломаная линия образует контур многоугольника. В данном случае цифры 8 и 0 образуют многоугольники, у которых 4 стороны и все углы прямые (равны $90^\circ$). Такой многоугольник называется прямоугольником.
Ответ: прямоугольник.

10 Начертите пятиугольник, как на рисунке 9. Разбейте его на треугольники так, чтобы у пятиугольника и каждого треугольника были общие стороны. Сколько треугольников может получиться на чертеже? Какие ещё многоугольники получились на чертеже?

Условие задачи состоит в том, чтобы разбить пятиугольник на треугольники так, чтобы каждый полученный треугольник имел хотя бы одну общую сторону с исходным пятиугольником. Это означает, что ни один из треугольников разбиения не может быть полностью «внутренним», то есть состоящим только из диагоналей. Рассмотрим несколько способов такого разбиения. Обозначим вершины пятиугольника буквами A, B, C, D, E.

Случай 1: 3 треугольника.
Выберем одну из вершин пятиугольника, например, вершину А, и проведем из нее все возможные диагонали к не смежным вершинам. Для пятиугольника это будут диагонали AC и AD. Эти диагонали разделят пятиугольник на 3 треугольника: $\triangle ABC$, $\triangle ACD$ и $\triangle ADE$.
Проверим условие:

• $\triangle ABC$ имеет общие стороны AB и BC с пятиугольником.
• $\triangle ACD$ имеет общую сторону CD с пятиугольником.
• $\triangle ADE$ имеет общие стороны DE и AE с пятиугольником.

Все условия выполнены. Таким образом, может получиться 3 треугольника.

Случай 2: 4 треугольника.
Выберем точку на одной из сторон пятиугольника, например, точку P на стороне DE. Соединим эту точку со всеми вершинами, не лежащими на этой стороне, то есть с вершинами A, B и C. Проведенные отрезки PA, PB, PC разделят пятиугольник на 4 треугольника: $\triangle PAB$, $\triangle PBC$, $\triangle PCD$ и $\triangle PEA$.
Проверим условие:

• $\triangle PAB$ имеет общую сторону AB с пятиугольником.
• $\triangle PBC$ имеет общую сторону BC с пятиугольником.
• $\triangle PCD$ имеет общую сторону CD с пятиугольником.
• $\triangle PEA$ имеет общую сторону EA с пятиугольником.

Все условия выполнены. Таким образом, может получиться 4 треугольника.

Случай 3: 5 треугольников.
Выберем любую точку P внутри пятиугольника и соединим ее отрезками со всеми пятью вершинами: A, B, C, D, E. Это разобьет пятиугольник на 5 треугольников: $\triangle PAB$, $\triangle PBC$, $\triangle PCD$, $\triangle PDE$ и $\triangle PEA$.
Проверим условие:

• $\triangle PAB$ имеет общую сторону AB с пятиугольником.
• $\triangle PBC$ имеет общую сторону BC с пятиугольником.
• $\triangle PCD$ имеет общую сторону CD с пятиугольником.
• $\triangle PDE$ имеет общую сторону DE с пятиугольником.
• $\triangle PEA$ имеет общую сторону EA с пятиугольником.

Все условия выполнены. Таким образом, может получиться 5 треугольников.

Ответ: На чертеже может получиться 3, 4 или 5 треугольников.

На чертеже, помимо исходного пятиугольника и треугольников, на которые он разбит, можно увидеть и другие многоугольники. Они образуются путем объединения нескольких смежных треугольников разбиения.

Например:

• В случае разбиения на 3 треугольника ($\triangle ABC$, $\triangle ACD$, $\triangle ADE$) можно выделить четырехугольники. Объединение $\triangle ABC$ и $\triangle ACD$ образует четырехугольник ABCD. Объединение $\triangle ACD$ и $\triangle ADE$ образует четырехугольник ACDE.
• В случае разбиения на 5 треугольников из внутренней точки P ($\triangle PAB$, $\triangle PBC$ и т.д.) можно выделить четырехугольники, составленные из двух соседних треугольников. Например, $\triangle PAB$ и $\triangle PBC$ вместе образуют четырехугольник PABC. Всего можно составить 5 таких четырехугольников (PABC, PBCD, PCDE, PDEA, PEAB).
• В случае разбиения на 4 треугольника из точки P на стороне DE ($\triangle PAB$, $\triangle PBC$, $\triangle PCD$, $\triangle PEA$) также можно составить четырехугольники. Например, объединив $\triangle PAB$ и $\triangle PBC$, получим четырехугольник PABC.

Таким образом, на чертеже, кроме треугольников, получаются также четырехугольники.

Ответ: Кроме треугольников и исходного пятиугольника, на чертеже получились четырехугольники.