Страница 14 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

25 Луч l — биссектриса угла hk. Можно ли наложением совместить углы: а) hl и lk; б) hl и hk?

По определению, биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных по величине угла. В условии задачи сказано, что луч $l$ является биссектрисой угла $hk$. Это означает, что луч $l$ делит угол $hk$ на два равных угла: $hl$ и $lk$. Таким образом, их градусные меры равны: $\angle hl = \angle lk$. Также каждый из этих углов равен половине исходного угла: $\angle hl = \angle lk = \frac{1}{2}\angle hk$.

Две геометрические фигуры можно совместить наложением тогда и только тогда, когда они равны (конгруэнтны). Для углов это означает, что их градусные меры должны быть одинаковы.

а)
Сравним углы $hl$ и $lk$. Как следует из определения биссектрисы, $\angle hl = \angle lk$. Поскольку эти углы равны, их можно совместить наложением. Если мысленно согнуть плоскость по лучу $l$ (биссектрисе), то луч $h$ совпадет с лучом $k$, и, соответственно, угол $hl$ полностью совместится с углом $lk$.
Ответ: Да, можно.

б)
Сравним углы $hl$ и $hk$. Угол $hl$ является частью угла $hk$. Из определения биссектрисы мы знаем, что $\angle hl = \frac{1}{2}\angle hk$. Равенство $\angle hl = \angle hk$ было бы возможно, только если бы $\angle hk = 0^\circ$, что является вырожденным случаем (когда лучи $h$ и $k$ совпадают). В любом невырожденном случае, когда угол $hk$ имеет положительную меру, $\angle hl$ всегда будет строго меньше, чем $\angle hk$. Поскольку в общем случае эти углы не равны, их нельзя совместить наложением.
Ответ: Нет, нельзя (за исключением вырожденного случая, когда угол $hk$ равен нулю).

26 На рисунке 31 углы, обозначенные цифрами, равны. Укажите: а) биссектрису каждого из углов АОС, BOF, AOE; б) все углы, биссектрисой которых является луч ОС. Сравните углы BOC и BOD.

а) По условию задачи, углы, обозначенные цифрами, равны. Обозначим величину каждого из этих углов как $\alpha$.
Следовательно, $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOE = \angle EOF = \alpha$.
Биссектриса — это луч, который делит угол на два равных угла.
- Для угла $AOC$: Его величина равна $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = \alpha + \alpha = 2\alpha$. Луч $OB$ делит угол $AOC$ на два равных угла $\angle AOB$ и $\angle BOC$. Следовательно, луч $OB$ является биссектрисой угла $AOC$.
- Для угла $BOF$: Его величина равна $\angle BOF = \angle BOC + \angle COD + \angle DOE + \angle EOF = 4\alpha$. Луч $OD$ делит этот угол на два угла: $\angle BOD = \angle BOC + \angle COD = 2\alpha$ и $\angle DOF = \angle DOE + \angle EOF = 2\alpha$. Так как $\angle BOD = \angle DOF$, луч $OD$ является биссектрисой угла $BOF$.
- Для угла $AOE$: Его величина равна $\angle AOE = \angle AOB + \angle BOC + \angle COD + \angle DOE = 4\alpha$. Луч $OC$ делит этот угол на два угла: $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 2\alpha$ и $\angle COE = \angle COD + \angle DOE = 2\alpha$. Так как $\angle AOC = \angle COE$, луч $OC$ является биссектрисой угла $AOE$.
Ответ: биссектрисой угла $AOC$ является луч $OB$; биссектрисой угла $BOF$ является луч $OD$; биссектрисой угла $AOE$ является луч $OC$.

б) Чтобы луч $OC$ был биссектрисой некоторого угла, он должен делить этот угол на две равные части. Рассмотрим углы, для которых это условие выполняется:
- Угол $BOD$: Луч $OC$ делит его на два угла $\angle BOC$ и $\angle COD$. По условию они равны: $\angle BOC = \angle COD = \alpha$. Следовательно, $OC$ является биссектрисой угла $BOD$.
- Угол $AOE$: Луч $OC$ делит его на два угла $\angle AOC$ и $\angle COE$. Найдем их величины: $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = \alpha + \alpha = 2\alpha$; $\angle COE = \angle COD + \angle DOE = \alpha + \alpha = 2\alpha$. Так как $\angle AOC = \angle COE$, луч $OC$ является биссектрисой угла $AOE$.
Ответ: луч $OC$ является биссектрисой углов $BOD$ и $AOE$.

Для сравнения углов $BOC$ и $BOD$ найдем их величины. Пусть $\alpha$ — величина равных углов, обозначенных цифрами.
Угол $BOC$ по условию равен $\alpha$: $\angle BOC = \alpha$.
Угол $BOD$ состоит из двух углов $BOC$ и $COD$: $\angle BOD = \angle BOC + \angle COD = \alpha + \alpha = 2\alpha$.
Так как величина угла $\alpha$ положительна, $2\alpha$ больше, чем $\alpha$.
Следовательно, $\angle BOD > \angle BOC$.
Ответ: $\angle BOD > \angle BOC$.