Страница 21 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

45 Начертите три неразвёрнутых угла и один развёрнутый угол и обозначьте их так: ∠AOB, ∠CDE, ∠hk и ∠MNP. С помощью транспортира измерьте углы и запишите результаты измерений.

Для решения этой задачи необходимо начертить четыре угла, три из которых — неразвёрнутые (то есть меньше $180^\circ$), и один — развёрнутый (равный $180^\circ$). Затем измерить их величину с помощью транспортира. Так как реальные углы начертить и измерить здесь невозможно, мы приведём примеры таких углов и их измерений.

?AOB

Начертим неразвёрнутый острый угол. Для этого из точки O проведём два луча OA и OB. Угол $?AOB$ — острый, его градусная мера меньше $90^\circ$.
Приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с вершиной угла O, а один из лучей (например, OA) прошёл через нулевую отметку на шкале транспортира. Посмотрим, на какое деление на той же шкале указывает луч OB. Предположим, что измерение показало 45 градусов.
Запись измерения: $?AOB = 45^\circ$.
Ответ: $?AOB = 45^\circ$.

?CDE

Начертим неразвёрнутый тупой угол. Для этого из точки D проведём два луча DC и DE. Угол $?CDE$ — тупой, его градусная мера больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.
Измерим его с помощью транспортира аналогично предыдущему пункту. Совместим центр транспортира с вершиной D и луч DC с нулевой отметкой. Предположим, луч DE указал на деление 130 градусов.
Запись измерения: $?CDE = 130^\circ$.
Ответ: $?CDE = 130^\circ$.

?hk

Начертим ещё один неразвёрнутый угол. Углы могут обозначаться не только тремя заглавными буквами, но и двумя строчными, которые обозначают лучи, образующие угол. Начертим прямой угол, образованный лучами h и k. Прямой угол равен $90^\circ$.
Проверим измерением с помощью транспортира. Приложив транспортир, мы увидим, что лучи h и k указывают на деления, разница между которыми составляет 90 градусов (например, 0 и 90).
Запись измерения: $?hk = 90^\circ$.
Ответ: $?hk = 90^\circ$.

?MNP

Начертим развёрнутый угол. Развёрнутый угол образуется двумя лучами, которые являются продолжением друг друга и лежат на одной прямой. Из точки N проведём два луча NM и NP в противоположные стороны так, чтобы они образовали прямую линию.
Градусная мера развёрнутого угла всегда равна $180^\circ$. Это можно проверить с помощью транспортира: если совместить центр транспортира с вершиной N, а один луч (NM) с нулевой отметкой, то второй луч (NP) будет указывать на отметку $180^\circ$ на той же шкале.
Запись измерения: $?MNP = 180^\circ$.
Ответ: $?MNP = 180^\circ$.

46 Начертите луч ОА и с помощью транспортира отложите от луча ОА углы AOB, АОС и AOD так, чтобы ∠AOB = 23°, ∠AOC = 67°, ∠AOD = 138°.

Для решения этой задачи выполним следующие шаги построения с использованием линейки и транспортира.

1. Начертим на листе бумаги произвольный луч. Обозначим его начало точкой O, а на самом луче отметим точку A. Мы получили луч OA, который будет служить одной из сторон для всех углов.
2. Приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой O (вершиной углов), а отметка 0° на шкале транспортира легла точно на луч OA.
3. Найдём на шкале транспортира деление, соответствующее 23°. Поставим рядом с этим делением точку B.
4. Снимем транспортир и с помощью линейки проведём луч OB, начинающийся в точке O и проходящий через точку B. Полученный угол $\angle AOB$ равен 23°.
5. Снова приложим транспортир к лучу OA, как в шаге 2. Теперь найдём на шкале деление, соответствующее 67°. Поставим рядом с ним точку C. Проведём луч OC. Полученный угол $\angle AOC$ равен 67°.
6. Повторим процедуру для угла 138°. Найдём на шкале транспортира деление 138°, поставим точку D и проведём луч OD. Полученный угол $\angle AOD$ равен 138°.

Так как все углы ($23^\circ < 67^\circ < 138^\circ$) откладывались от одного и того же луча OA в одну и ту же сторону, луч OB будет лежать внутри угла AOC, а луч OC — внутри угла AOD. Схематично результат построения выглядит так:

В рамках развёрнутого решения задачи также найдём величины углов, образованных лучами B, C и D между собой.

Нахождение величины угла BOC

Угол BOC находится между лучами OB и OC. Так как луч OB образует с лучом OA угол 23°, а луч OC образует с тем же лучом OA угол 67°, то величина угла BOC равна разности величин углов AOC и AOB.

$\angle BOC = \angle AOC - \angle AOB$

$\angle BOC = 67^\circ - 23^\circ = 44^\circ$

Ответ: 44°.

Нахождение величины угла COD

Аналогично, угол COD находится между лучами OC и OD. Его величина равна разности величин углов AOD и AOC.

$\angle COD = \angle AOD - \angle AOC$

$\angle COD = 138^\circ - 67^\circ = 71^\circ$

Ответ: 71°.

Нахождение величины угла BOD

Угол BOD находится между лучами OB и OD. Его величину можно найти как разность углов AOD и AOB, или как сумму уже найденных углов BOC и COD.

Способ 1: Через разность

$\angle BOD = \angle AOD - \angle AOB$

$\angle BOD = 138^\circ - 23^\circ = 115^\circ$

Способ 2: Через сумму

$\angle BOD = \angle BOC + \angle COD$

$\angle BOD = 44^\circ + 71^\circ = 115^\circ$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 115°.

47 Начертите угол, равный 70°, и с помощью транспортира проведите его биссектрису.

Для выполнения этой задачи потребуются карандаш, линейка и транспортир.

Построение угла, равного 70°

1. Начертите на бумаге луч с началом в точке, которую мы назовем O. Этот луч будет одной из сторон угла.

2. Приложите транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой O, а его прямое основание (линия с отметкой 0°) легло точно на начерченный луч.

3. На шкале транспортира найдите отметку 70° и поставьте рядом с ней точку (например, A).

4. Уберите транспортир и соедините точку O с точкой A с помощью линейки. Угол AOB, который вы получили, равен 70°.

Проведение биссектрисы

Биссектриса — это луч, который делит угол на два равных угла. Чтобы провести биссектрису угла в 70°, нужно найти его середину.

1. Сначала вычислим, какой величины будут углы, полученные после деления исходного угла биссектрисой: $70° / 2 = 35°$.

2. Снова приложите транспортир к углу, как вы делали это в начале: центр в точке O, а нулевая отметка на первом луче.

3. Найдите на шкале транспортира отметку 35° и поставьте рядом с ней новую точку (например, C).

4. Проведите луч из вершины O через точку C. Этот луч OC является биссектрисой угла AOB.

Ответ: В результате на чертеже будет изображен угол в 70° и его биссектриса, которая делит его на два равных угла, каждый по 35°.

48 Начертите угол AOB и с помощью транспортира проведите луч ОС так, чтобы луч ОА являлся биссектрисой угла ВОС. Всегда ли это выполнимо?

Порядок действий для построения:
1. Начертите произвольный угол $AOB$.
2. Используя транспортир, измерьте градусную меру угла $AOB$. Обозначим ее как $\alpha$.
3. По условию, луч $OA$ должен быть биссектрисой угла $BOC$. Это значит, что он делит угол $BOC$ на два равных угла: $\angle BOA = \angle AOC$.
4. Следовательно, нам нужно построить угол $AOC$ с градусной мерой $\alpha$, отложив его от луча $OA$ в полуплоскость, не содержащую луч $OB$. Для этого приложите транспортир центром к вершине $O$, совместите нулевую отметку с лучом $OA$ и отметьте точку $C$ на делении, соответствующем углу $\alpha$.
5. Проведите луч $OC$ из вершины $O$ через точку $C$.
В результате построенный луч $OC$ образует с лучом $OB$ угол $BOC$, биссектрисой которого является луч $OA$. Величина угла $BOC$ будет равна $2\alpha$.
Ответ: Построение выполняется путем измерения угла $AOB$ и откладывания от луча $OA$ равного ему угла $AOC$ так, чтобы лучи $OB$ и $OC$ лежали в разных полуплоскостях относительно прямой $OA$.

Нет, данное построение выполнимо не всегда. Возможность построения зависит от величины исходного угла $AOB$.
По построению, луч $OA$ является биссектрисой угла $BOC$, поэтому $\angle BOC = 2 \cdot \angle AOB$. В геометрии на плоскости величина угла не может превышать $360^\circ$ (полный угол). Следовательно, для выполнимости построения необходимо, чтобы выполнялось неравенство $2 \cdot \angle AOB \le 360^\circ$, что равносильно $\angle AOB \le 180^\circ$.
Таким образом, если исходный угол $AOB$ острый, прямой, тупой или развернутый (то есть $\angle AOB \le 180^\circ$), то построение возможно. Если же угол $AOB$ является рефлексным (больше развернутого, $\angle AOB > 180^\circ$), то его удвоенная величина превысит $360^\circ$, и такое построение в рамках планиметрии выполнить невозможно.
Ответ: Нет, это выполнимо только в том случае, если величина угла $AOB$ не превышает $180^\circ$ ($\angle AOB \le 180^\circ$).