Страница 26 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

70 На рисунке 47 (см. с. 23) найдите углы 1, 2, 3, 4, если:

a) ∠2 + ∠4 = 220°;

б) 3 (∠1 + ∠3) = ∠2 + ∠4;

в) ∠2 − ∠1 = 30°.

Для решения задачи будем исходить из того, что углы 1, 2, 3 и 4 образованы при пересечении двух прямых. При пересечении двух прямых образуются пары вертикальных и смежных углов, обладающие следующими свойствами:

• Вертикальные углы равны. В нашем случае это означает, что $\angle 1 = \angle 3$ и $\angle 2 = \angle 4$.
• Сумма смежных углов равна 180°. Например, $\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}$.

а) По условию $\angle 2 + \angle 4 = 220^{\circ}$.

Поскольку углы $\angle 2$ и $\angle 4$ являются вертикальными, они равны: $\angle 2 = \angle 4$. Заменим в условии $\angle 4$ на $\angle 2$:

$\angle 2 + \angle 2 = 220^{\circ}$

$2\angle 2 = 220^{\circ}$

$\angle 2 = \frac{220^{\circ}}{2} = 110^{\circ}$

Так как $\angle 2 = \angle 4$, то $\angle 4 = 110^{\circ}$.

Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ — смежные, их сумма равна 180°. Найдем $\angle 1$:

$\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}$

$\angle 1 + 110^{\circ} = 180^{\circ}$

$\angle 1 = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$

Углы $\angle 1$ и $\angle 3$ — вертикальные, следовательно, $\angle 3 = \angle 1 = 70^{\circ}$.

Ответ: $\angle 1 = 70^{\circ}$, $\angle 2 = 110^{\circ}$, $\angle 3 = 70^{\circ}$, $\angle 4 = 110^{\circ}$.

б) По условию $3 (\angle 1 + \angle 3) = \angle 2 + \angle 4$.

Используя свойства вертикальных углов ($\angle 1 = \angle 3$ и $\angle 2 = \angle 4$), преобразуем данное равенство:

$3 (\angle 1 + \angle 1) = \angle 2 + \angle 2$

$3 \cdot (2\angle 1) = 2\angle 2$

$6\angle 1 = 2\angle 2$

$\angle 2 = 3\angle 1$

Так как углы $\angle 1$ и $\angle 2$ — смежные, их сумма равна 180°: $\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}$.

Подставим в это уравнение выражение $\angle 2 = 3\angle 1$:

$\angle 1 + 3\angle 1 = 180^{\circ}$

$4\angle 1 = 180^{\circ}$

$\angle 1 = \frac{180^{\circ}}{4} = 45^{\circ}$

Теперь найдем остальные углы:

$\angle 3 = \angle 1 = 45^{\circ}$ (как вертикальные).

$\angle 2 = 3\angle 1 = 3 \cdot 45^{\circ} = 135^{\circ}$.

$\angle 4 = \angle 2 = 135^{\circ}$ (как вертикальные).

Ответ: $\angle 1 = 45^{\circ}$, $\angle 2 = 135^{\circ}$, $\angle 3 = 45^{\circ}$, $\angle 4 = 135^{\circ}$.

в) По условию $\angle 2 - \angle 1 = 30^{\circ}$.

Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ являются смежными, поэтому их сумма составляет 180°: $\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}$.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными. Из первого уравнения можно выразить $\angle 2$: $\angle 2 = \angle 1 + 30^{\circ}$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\angle 1 + (\angle 1 + 30^{\circ}) = 180^{\circ}$

$2\angle 1 + 30^{\circ} = 180^{\circ}$

$2\angle 1 = 180^{\circ} - 30^{\circ}$

$2\angle 1 = 150^{\circ}$

$\angle 1 = \frac{150^{\circ}}{2} = 75^{\circ}$

Теперь найдем величину угла $\angle 2$:

$\angle 2 = 75^{\circ} + 30^{\circ} = 105^{\circ}$

Так как $\angle 1$ и $\angle 3$ — вертикальные, то $\angle 3 = \angle 1 = 75^{\circ}$. Аналогично, $\angle 2$ и $\angle 4$ — вертикальные, поэтому $\angle 4 = \angle 2 = 105^{\circ}$.

Ответ: $\angle 1 = 75^{\circ}$, $\angle 2 = 105^{\circ}$, $\angle 3 = 75^{\circ}$, $\angle 4 = 105^{\circ}$.

71 На рисунке 53 изображены три прямые, пересекающиеся в точке О. Найдите сумму углов: ∠1 + ∠2 + ∠3.

На рисунке изображены три прямые, которые пересекаются в одной точке O. Рассмотрим одну из этих прямых — ту, что расположена горизонтально. Углы, которые лежат по одну сторону от этой прямой и имеют общую вершину O, в сумме образуют развернутый угол. Градусная мера развернутого угла составляет $180°$.

По одну сторону от горизонтальной прямой (сверху) расположены углы $?1$, $?2$ и угол, который является вертикальным по отношению к углу $?3$. Обозначим этот вертикальный угол как $?4$.

Сумма этих трех углов ($?1$, $?2$ и $?4$) образует развернутый угол, следовательно, их сумма равна $180°$:
$?1 + ?2 + ?4 = 180°$

Углы $?3$ и $?4$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении двух прямых, и стороны одного угла являются продолжением сторон другого. Согласно свойству вертикальных углов, они равны между собой:
$?3 = ?4$

Теперь мы можем подставить $?3$ вместо равного ему угла $?4$ в наше первое равенство:
$?1 + ?2 + ?3 = 180°$

Следовательно, искомая сумма углов равна $180°$.

Ответ: $180°$

72 На рисунке 54 ∠AOB=50°, ∠FOE=70°. Найдите углы АОС, BOD, СОЕ и угол между прямыми AD и FC.

Для решения задачи воспользуемся свойствами вертикальных и смежных углов. Вертикальные углы, образованные пересечением двух прямых, равны. Сумма углов, образующих развернутый угол (лежащих на одной прямой), равна $180°$.

По условию задачи даны углы $?AOB = 50°$ и $?FOE = 70°$.

Найдем угол AOC

Углы $?BOC$ и $?FOE$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $BE$ и $CF$. Следовательно, они равны:

$?BOC = ?FOE = 70°$

Угол $?AOC$ состоит из двух смежных углов $?AOB$ и $?BOC$. Его величина равна их сумме:

$?AOC = ?AOB + ?BOC = 50° + 70° = 120°$

Ответ: $120°$.

Найдем угол BOD

Углы $?AOB$, $?BOC$ и $?COD$ вместе образуют развернутый угол, так как лучи $OA$ и $OD$ являются продолжением друг друга и образуют прямую $AD$. Сумма этих углов равна $180°$:

$?AOB + ?BOC + ?COD = 180°$

Мы знаем, что $?AOB = 50°$ и $?BOC = 70°$. Подставим эти значения в формулу:

$50° + 70° + ?COD = 180°$

$120° + ?COD = 180°$

$?COD = 180° - 120° = 60°$

Угол $?BOD$ состоит из углов $?BOC$ и $?COD$. Его величина равна их сумме:

$?BOD = ?BOC + ?COD = 70° + 60° = 130°$

Ответ: $130°$.

Найдем угол COE

Углы $?DOE$ и $?AOB$ являются вертикальными, так как образованы при пересечении прямых $AD$ и $BE$. Следовательно, они равны:

$?DOE = ?AOB = 50°$

Угол $?COE$ состоит из углов $?COD$ и $?DOE$. Его величина равна их сумме. Угол $?COD$ мы нашли в предыдущем пункте ($60°$).

$?COE = ?COD + ?DOE = 60° + 50° = 110°$

Ответ: $110°$.

Найдем угол между прямыми AD и FC

Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образовавшихся при их пересечении. Прямые $AD$ и $FC$ пересекаются в точке $O$. При этом образуются две пары равных вертикальных углов: $?AOC$ и $?FOD$; $?COD$ и $?AOF$.

Из предыдущих вычислений мы знаем, что:

$?AOC = 120°$

$?COD = 60°$

При пересечении прямых $AD$ и $FC$ образовались углы $120°$ и $60°$. Наименьший из них равен $60°$.

Следовательно, угол между прямыми $AD$ и $FC$ равен $60°$.

Ответ: $60°$.

73 Прямая а пересекает стороны угла А в точках Р и Q. Могут ли обе прямые АР и AQ быть перпендикулярными к прямой а?

Для решения этой задачи воспользуемся одной из основных теорем геометрии о перпендикулярных прямых.

По условию, у нас есть угол с вершиной в точке $A$. Прямая $a$ пересекает стороны этого угла в точках $P$ и $Q$. Стороны угла лежат на прямых $AP$ и $AQ$.

Предположим, что обе прямые $AP$ и $AQ$ перпендикулярны прямой $a$. Это можно записать так:

$AP \perp a$

$AQ \perp a$

Таким образом, мы имеем две прямые ($AP$ и $AQ$), которые проходят через одну и ту же точку ($A$) и обе перпендикулярны одной и той же прямой ($a$).

Однако, согласно теореме о перпендикулярных прямых, через любую точку плоскости можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой.

Следовательно, если бы обе прямые $AP$ и $AQ$ были перпендикулярны прямой $a$, они должны были бы совпадать. Если прямые $AP$ и $AQ$ совпадают, то точки $A$, $P$ и $Q$ лежат на одной прямой. В этом случае угол $A$ был бы развернутым (180°) или нулевым (0°), а его стороны не были бы двумя различными лучами, что противоречит понятию угла в контексте задачи (где прямая $a$ пересекает именно две его стороны).

Таким образом, наше предположение неверно. Прямые $AP$ и $AQ$ являются разными прямыми, и они не могут быть одновременно перпендикулярны одной и той же прямой $a$.

Ответ: Нет, не могут.

74 Через точку А, не лежащую на прямой а, проведены три прямые, пересекающие прямую а. Докажите, что по крайней мере две из них не перпендикулярны к прямой а.

Для решения данной задачи воспользуемся методом доказательства от противного.

Пусть даны точка $A$, не лежащая на прямой $a$ ($A \notin a$), и три различные прямые $l_1, l_2, l_3$, которые проходят через точку $A$ и пересекают прямую $a$. Нам необходимо доказать, что по крайней мере две из этих трех прямых не перпендикулярны прямой $a$.

Предположим обратное: пусть утверждение неверно. Это означает, что менее двух прямых не перпендикулярны прямой $a$. Иными словами, это значит, что две или даже три прямые из нашего набора перпендикулярны прямой $a$. Возьмем случай, когда как минимум две прямые перпендикулярны $a$. Пусть это будут прямые $l_1$ и $l_2$.

Таким образом, мы имеем две различные прямые, $l_1$ и $l_2$, которые обе проходят через точку $A$ и обе перпендикулярны прямой $a$. То есть, $l_1 \perp a$ и $l_2 \perp a$.

Однако, согласно фундаментальной теореме евклидовой геометрии, из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Поскольку точка $A$ не лежит на прямой $a$, через нее может проходить лишь одна-единственная прямая, перпендикулярная $a$. Наше предположение о существовании двух таких прямых ($l_1$ и $l_2$) напрямую противоречит этой теореме.

Следовательно, наше первоначальное предположение было ложным. Это означает, что не более одной прямой, проходящей через точку $A$, может быть перпендикулярно прямой $a$. Если из трех прямых максимум одна перпендикулярна $a$, то оставшиеся ($3-1=2$) две (или даже все три, если перпендикуляра среди них нет) не перпендикулярны прямой $a$.

Таким образом, мы доказали, что по крайней мере две из трех прямых, проведенных через точку $A$ и пересекающих прямую $a$, не перпендикулярны прямой $a$.

Ответ: Утверждение доказывается от противного. Если предположить, что две из трех прямых перпендикулярны прямой $a$, то это будет означать, что через одну точку $A$, не лежащую на прямой $a$, проходят два различных перпендикуляра к этой прямой. Это противоречит теореме о единственности перпендикуляра, проведенного из точки к прямой. Следовательно, наше предположение неверно, и максимум одна из трех прямых может быть перпендикулярна $a$. А значит, по меньшей мере две из них не перпендикулярны прямой $a$.

1 Сколько прямых можно провести через две точки?

Этот вопрос касается одной из основных аксиом евклидовой геометрии, известной как аксиома принадлежности. Она гласит, что через любые две различные точки на плоскости или в пространстве можно провести прямую, и притом только одну.
Представим две точки, назовем их A и B. Эти две точки однозначно задают положение прямой. Если мы попытаемся провести еще одну прямую через те же самые точки A и B, она неизбежно совпадет с первой. Таким образом, существует только одна уникальная прямая, проходящая через заданную пару точек.
Ответ: 1

2 Сколько общих точек могут иметь две прямые?

Количество общих точек у двух прямых на плоскости зависит от их взаимного расположения. Существует три возможных варианта.

Ноль общих точек
Две прямые могут не иметь ни одной общей точки. Это происходит в том случае, если прямые параллельны. По определению, параллельные прямые — это прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся, сколько бы их ни продолжали. Таким образом, у них нет общих точек.
Ответ: 0 общих точек.

Одна общая точка
Две прямые могут иметь ровно одну общую точку. Это происходит, когда прямые пересекаются. Согласно основной аксиоме геометрии, две различные прямые могут пересечься не более чем в одной точке. Эта точка пересечения и является их единственной общей точкой.
Ответ: 1 общая точка.

Бесконечно много общих точек
Две прямые могут иметь бесконечное множество общих точек. Это возможно только в том случае, если прямые совпадают, то есть на самом деле являются одной и той же линией. Тогда каждая точка этой линии является общей для "обеих" прямых.
Ответ: бесконечно много общих точек.

3 Объясните, что такое отрезок.

Отрезок — это одна из фундаментальных фигур в геометрии. Представим себе бесконечную прямую линию. Если на этой прямой отметить две различные точки, назовем их $A$ и $B$, то отрезок $AB$ — это все точки этой прямой, которые находятся между точками $A$ и $B$, включая сами точки $A$ и $B$.

Таким образом, у отрезка есть несколько ключевых характеристик:

• Ограниченность: В отличие от прямой, которая бесконечна в обе стороны, отрезок ограничен двумя точками. Эти точки называются концами отрезка.
• Состав: Отрезок включает в себя свои концы и все точки, лежащие между ними.
• Длина: Отрезок имеет конечную, измеримую длину, которая равна расстоянию между его концами.
• Обозначение: Отрезок обозначается по его концам. Например, отрезок с концами в точках $A$ и $B$ обозначается как $AB$ или $BA$. Порядок букв в названии отрезка не имеет значения.

Простой пример из жизни — это участок прямой дороги между двумя городами или длина карандаша. У карандаша есть два конца, и он имеет определённую длину.

Ответ: Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками, которые называются его концами. Отрезок включает в себя эти две точки и все точки прямой, расположенные между ними.

4 Какая фигура называется ломаной? Объясните, что такое вершины и звенья ломаной.

Какая фигура называется ломаной?

Ломаная линия (или просто ломаная) — это геометрическая фигура, которая состоит из нескольких отрезков, последовательно соединённых друг с другом в своих конечных точках.

Более строго, если на плоскости задана последовательность точек $A_1, A_2, A_3, \dots, A_n$, то ломаной $A_1A_2\dots A_n$ называют фигуру, состоящую из отрезков $A_1A_2, A_2A_3, \dots, A_{n-1}A_n$.

Ломаные бывают нескольких видов:
- Разомкнутая (незамкнутая) ломаная — это ломаная, у которой начало и конец не совпадают (точка $A_1$ не совпадает с точкой $A_n$).
- Замкнутая ломаная — это ломаная, у которой начало и конец совпадают (точка $A_1$ совпадает с точкой $A_n$). Замкнутая ломаная без самопересечений образует многоугольник.
- Простая ломаная (без самопересечений) — это ломаная, у которой несоседние звенья не имеют общих точек.

Ответ: Ломаная — это геометрическая фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединенных своими концами.

Объясните, что такое вершины и звенья ломаной.

Любая ломаная состоит из вершин и звеньев.

Вершины ломаной — это точки, которые служат концами отрезков (звеньев). В ломаной $A_1A_2\dots A_n$ точки $A_1, A_2, \dots, A_n$ являются её вершинами. Самые первые и последние вершины ($A_1$ и $A_n$ для разомкнутой ломаной) называют концами ломаной.

Звенья ломаной — это отрезки, из которых она состоит. В ломаной $A_1A_2\dots A_n$ отрезки $A_1A_2, A_2A_3, \dots, A_{n-1}A_n$ — это её звенья. Длиной ломаной называется сумма длин всех её звеньев.

Например, для ломаной $KMNP$:
- Точки $K, M, N, P$ — это её вершины.
- Отрезки $KM, MN, NP$ — это её звенья.

Ответ: Вершины ломаной — это точки, в которых соединяются её отрезки. Звенья ломаной — это сами отрезки, из которых она состоит.

5 Какая ломаная называется многоугольником?

Многоугольником называется геометрическая фигура на плоскости, которая ограничена ломаной линией, но не всякой. Чтобы ломаная линия образовывала многоугольник, она должна обладать двумя ключевыми свойствами.

Для наглядности представим ломаную как последовательность точек-вершин $A_1, A_2, \ldots, A_n$ и соединяющих их отрезков-звеньев $A_1A_2, A_2A_3, \ldots, A_{n-1}A_n$.

Эта ломаная будет являться границей многоугольника, если она:

1. Замкнутая. Это свойство означает, что конец последнего звена ломаной совпадает с началом первого. То есть, ломаная образует замкнутый контур. Для наших вершин это значит, что точка $A_n$ и точка $A_1$ — это одна и та же точка. Звенья такой ломаной: $A_1A_2, A_2A_3, \ldots, A_nA_1$.

2. Простая (без самопересечений). Это свойство означает, что звенья ломаной не пересекаются друг с другом. Единственные общие точки у звеньев — это их общие вершины (то есть, смежные звенья пересекаются в вершине). Любые два несмежных звена не должны иметь общих точек.

Также важно отметить, что для образования многоугольника необходимо как минимум три вершины ($n \ge 3$). Фигура, состоящая из простой замкнутой ломаной и части плоскости, которую она ограничивает, и называется многоугольником. Сама ломаная при этом является его границей.

Ответ: Многоугольником называется простая замкнутая ломаная линия (вместе с частью плоскости, которую она ограничивает). Это значит, что ломаная должна быть замкнутой (образовывать замкнутый контур) и не иметь самопересечений (ее несмежные звенья не пересекаются).

6 Объясните, что такое луч. Как обозначаются лучи?

Объясните, что такое луч.

В геометрии луч (или полупрямая) — это часть прямой линии, которая имеет начальную точку и не имеет конца, то есть она бесконечно продолжается в одном заданном направлении. Точку, из которой луч исходит, называют его началом или вершиной.

Если на любой прямой отметить точку, например, точку $O$, то эта точка разделит прямую на две части. Каждая из этих частей, состоящая из точки $O$ и всех точек прямой, лежащих по одну сторону от $O$, является лучом. Два таких луча, имеющих общее начало и составляющих вместе одну прямую, называются дополнительными лучами.

Ответ: Луч — это часть прямой, состоящая из данной точки (называемой началом луча) и всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от неё.

Как обозначаются лучи?

Для обозначения лучей используют два основных способа:

• Двумя заглавными латинскими буквами. При таком обозначении на первом месте всегда ставится буква, обозначающая начало луча, а на втором — буква, обозначающая любую другую точку, лежащую на этом луче. Например, луч с началом в точке $A$, проходящий через точку $B$, обозначается как $AB$. Важно понимать, что порядок букв имеет принципиальное значение: луч $AB$ и луч $BA$ — это два разных луча, так как у них разные начальные точки ($A$ и $B$ соответственно).
• Одной строчной латинской буквой. Иногда луч можно обозначить одной маленькой буквой, например, луч $h$.

Ответ: Лучи обозначают либо двумя заглавными латинскими буквами, где первая указывает на начало луча (например, $OA$), либо одной строчной латинской буквой (например, $h$).

7 Какая фигура называется углом? Объясните, что такое вершина и стороны угла.

Какая фигура называется углом?

Угол — это геометрическая фигура, которая образована двумя лучами, выходящими из одной точки. Лучи — это части прямой, имеющие начало, но не имеющие конца. Плоскость, на которой лежит угол, делится им на две части — внутреннюю и внешнюю область угла.

Объясните, что такое вершина и стороны угла.

Основными элементами, из которых состоит угол, являются его вершина и стороны.

• Вершина угла — это общая точка, из которой исходят два луча, образующие угол. При обозначении угла тремя буквами, например, $\angle ABC$, вершина всегда указывается в середине (в данном случае это точка $B$).
• Стороны угла — это два луча, которые образуют угол. Они начинаются в общей вершине и расходятся в разные стороны. В угле $\angle ABC$ сторонами являются лучи $BA$ и $BC$.

Таким образом, для образования угла необходима одна точка (вершина) и два исходящих из нее луча (стороны).

Ответ: Углом называется геометрическая фигура, состоящая из точки, называемой вершиной, и двух лучей, исходящих из этой точки, которые называются сторонами угла. Вершина — это общая начальная точка лучей, а стороны — это сами лучи.

8 Какой угол называется развёрнутым?

Развёрнутым углом называется угол, стороны которого являются дополнительными лучами. Это означает, что обе стороны угла лежат на одной прямой, но направлены в противоположные стороны от общей вершины. Таким образом, развёрнутый угол визуально выглядит как прямая линия с отмеченной на ней точкой-вершиной.

Ключевые свойства развёрнутого угла:

1. Величина в градусах: Градусная мера развёрнутого угла всегда равна $180^\circ$. Это составляет ровно половину полного угла ($360^\circ$).

2. Величина в радианах: В радианной мере величина развёрнутого угла составляет $\pi$ радиан.

3. Связь с прямым углом: Развёрнутый угол равен сумме двух прямых углов. Поскольку прямой угол равен $90^\circ$, то два прямых угла вместе составляют $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Например, если часовая стрелка на циферблате переместится из положения «12 часов» в положение «6 часов», она опишет развёрнутый угол.

Ответ: Развёрнутый угол — это угол, стороны которого лежат на одной прямой, а его градусная мера равна $180^\circ$.

9 Какие фигуры называются равными?

Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением так, что они полностью совпадут. Иными словами, если одну фигуру $F_1$ можно переместить и/или повернуть так, чтобы она в точности заняла место другой фигуры $F_2$, то эти фигуры равны. Это интуитивное понятие формализуется в геометрии.

Более строго, две фигуры называются равными, если существует движение (или изометрическое преобразование), которое переводит одну фигуру в другую. Движение — это преобразование пространства, которое сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Основные виды движений на плоскости — это:

• Параллельный перенос;
• Поворот вокруг точки;
• Осевая симметрия (отражение).

Любая комбинация этих преобразований также является движением. Таким образом, если фигуру $F_1$ можно совместить с фигурой $F_2$ с помощью одного или нескольких из этих преобразований, то фигуры считаются равными (обозначается как $F_1 = F_2$).

У равных фигур одинаковые форма и размеры. Следствием этого является то, что у них равны все соответствующие элементы и характеристики:

• соответствующие стороны и диагонали;
• соответствующие углы;
• периметры;
• площади (для плоских фигур) и объемы (для пространственных фигур).

Например:

• Два отрезка равны, если равны их длины.
• Два угла равны, если равны их градусные (или радианные) меры.
• Две окружности равны, если равны их радиусы.
• Два треугольника равны, если у них равны соответствующие стороны и углы. Для этого существуют специальные признаки равенства треугольников (например, по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: Две геометрические фигуры называются равными, если одну из них можно так переместить в пространстве (с помощью параллельного переноса, поворота или отражения), что она полностью совпадет с другой. Это означает, что равные фигуры имеют одинаковую форму и одинаковые размеры.

10 Объясните, как сравнить два отрезка.

Сравнить два отрезка — значит определить, равны ли они, или какой из них длиннее другого. Существует несколько способов это сделать.

Способ 1: Наложение

Это фундаментальный геометрический метод, который основан на аксиомах откладывания отрезков. Пусть у нас есть два отрезка, $AB$ и $CD$.

Чтобы их сравнить, мы мысленно или физически накладываем один отрезок на другой. Для этого:

1. Совмещаем начало первого отрезка (точку $A$) с началом второго (точкой $C$).
2. Располагаем второй отрезок ($CD$) так, чтобы он лежал на луче $AB$.

Возможны три результата:

• Конец второго отрезка, точка $D$, совпадает с концом первого отрезка, точкой $B$. В этом случае отрезки равны: $AB = CD$.
• Точка $D$ лежит между точками $A$ и $B$. Это означает, что отрезок $CD$ полностью поместился внутри отрезка $AB$. Следовательно, отрезок $AB$ длиннее отрезка $CD$: $AB > CD$.
• Точка $B$ лежит между точками $A$ и $D$. Это означает, что отрезок $AB$ короче отрезка $CD$: $AB < CD$.

Ответ: Сравнить отрезки методом наложения — это совместить их начала и расположить на одном луче, а затем сравнить положение их вторых концов.

Способ 2: Измерение с помощью линейки

Этот практический способ предполагает использование измерительного инструмента с нанесенной шкалой (например, линейки с делениями в сантиметрах и миллиметрах).

1. Измеряем длину первого отрезка $AB$, приложив к нему линейку так, чтобы один из его концов (например, $A$) совпал с нулевой отметкой. Число на шкале, соответствующее второму концу ($B$), является длиной отрезка.
2. Аналогично измеряем длину второго отрезка $CD$.
3. Сравниваем полученные числовые значения (длины). Если число, соответствующее длине $AB$, больше числа, соответствующего длине $CD$, то отрезок $AB$ длиннее. Если числа равны, то и отрезки равны.

Ответ: Сравнить отрезки с помощью линейки — это измерить их длины в одинаковых единицах и сравнить полученные числовые результаты.

Способ 3: Использование циркуля

Этот классический способ используется в геометрии для построений и сравнения без измерения точных длин.

1. Берем циркуль и "замеряем" им длину первого отрезка $AB$: для этого устанавливаем ножку циркуля в точку $A$, а грифель — в точку $B$. Теперь расстояние между ножкой и грифелем (раствор циркуля) равно длине отрезка $AB$.
2. Не меняя раствора циркуля, переносим его на второй отрезок $CD$. Устанавливаем ножку циркуля в точку $C$.
3. Смотрим, где находится грифель циркуля относительно отрезка $CD$:
   • Если грифель попал точно в точку $D$, значит, отрезки равны: $AB = CD$.
   • Если грифель попал на точку, лежащую между $C$ и $D$, значит, отрезок $AB$ короче отрезка $CD$: $AB < CD$.
   • Если точка $D$ оказалась между ножкой циркуля (в точке $C$) и грифелем, значит, отрезок $AB$ длиннее отрезка $CD$: $AB > CD$.

Ответ: Сравнить отрезки с помощью циркуля — это "скопировать" длину одного отрезка раствором циркуля и сопоставить ее с длиной второго отрезка.

11 Какая точка называется серединой отрезка?

Серединой отрезка называется точка, которая принадлежит этому отрезку и находится на равном расстоянии от его концов. Другими словами, это точка, которая делит отрезок на две равные части.

Если рассмотреть отрезок $AB$, то точка $C$ будет его серединой при выполнении двух условий:

1. Точка $C$ лежит на отрезке $AB$.

2. Расстояние от точки $A$ до точки $C$ равно расстоянию от точки $C$ до точки $B$. Это выражается равенством длин: $AC = CB$.

Следовательно, длина каждого из полученных отрезков ($AC$ и $CB$) равна половине длины исходного отрезка $AB$: $AC = CB = \frac{1}{2}AB$.

В аналитической геометрии, если известны координаты концов отрезка, координаты его середины можно найти по формулам:

На координатной прямой: если точка $A$ имеет координату $x_A$, а точка $B$ — координату $x_B$, то координата середины $C(x_C)$ вычисляется как их среднее арифметическое: $x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$.

На плоскости: если точка $A$ имеет координаты $(x_A, y_A)$, а точка $B$ — $(x_B, y_B)$, то координаты середины $C(x_C, y_C)$ находятся по формулам: $x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$ и $y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$.

В пространстве: если точка $A$ имеет координаты $(x_A, y_A, z_A)$, а точка $B$ — $(x_B, y_B, z_B)$, то координаты середины $C(x_C, y_C, z_C)$ вычисляются аналогично для каждой оси: $x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$, $y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$ и $z_C = \frac{z_A + z_B}{2}$.

Ответ: Серединой отрезка называется точка, которая лежит на этом отрезке и делит его на две равные части (находится на одинаковом расстоянии от его концов).

12 Объясните, как сравнить два угла.

Сравнить два угла — это значит определить, равны ли они, или какой из них больше, а какой меньше. Это можно сделать двумя основными способами.

Это фундаментальный геометрический способ сравнения, который не требует измерительных приборов. Порядок действий следующий:

1. Совместите вершины двух углов.
2. Расположите одну из сторон первого угла так, чтобы она полностью совпала с одной из сторон второго угла.
3. После этого проанализируйте положение вторых сторон обоих углов:
   • Если вторые стороны углов также совпали, то углы равны.
   • Если вторая сторона первого угла оказалась внутри второго угла, то первый угол меньше второго.
   • Если вторая сторона второго угла оказалась внутри первого угла, то первый угол больше второго.

Например, чтобы сравнить углы $?ABC$ и $?MNK$, мы можем наложить луч $BC$ на луч $NK$ так, чтобы вершины $B$ и $N$ совпали. Если при этом луч $BA$ окажется внутри угла $?MNK$, то $?ABC < ?MNK$.

Ответ: Сравнение методом наложения происходит путем совмещения вершин и одной из сторон углов, после чего делается вывод на основе взаимного расположения их вторых сторон.

Это практический способ, который заключается в измерении градусной меры каждого угла и сравнении полученных чисел.

1. С помощью транспортира измерьте величину первого угла в градусах. Пусть его мера равна $\alpha$.
2. Таким же образом измерьте величину второго угла. Пусть его мера равна $\beta$.
3. Сравните полученные числовые значения:
   • Если $\alpha = \beta$, то углы равны.
   • Если $\alpha < \beta$, то первый угол меньше второго.
   • Если $\alpha > \beta$, то первый угол больше второго.

Например, если измерение показало, что градусная мера одного угла равна $35°$, а другого — $50°$, то, поскольку $35 < 50$, первый угол меньше второго.

Ответ: Сравнение с помощью транспортира заключается в нахождении градусных мер каждого угла и последующем сравнении этих чисел.

13 Какой луч называется биссектрисой угла?

Биссектрисой угла в геометрии называют луч, который обладает двумя ключевыми свойствами:

1. Он исходит из вершины угла.
2. Он делит этот угол на два равных по величине угла.

Более формально: пусть дан угол $\angle AOB$, где $O$ — вершина угла, а $OA$ и $OB$ — его стороны (лучи). Луч $OC$ называется биссектрисой угла $\angle AOB$, если он выходит из вершины $O$, проходит между сторонами $OA$ и $OB$, и при этом образует два равных угла: $\angle AOC = \angle COB$.

Из этого определения следует, что величина каждого из углов, на которые биссектриса делит исходный угол, равна его половине:
$\angle AOC = \angle COB = \frac{1}{2} \angle AOB$

Например, если у нас есть угол величиной $60^\circ$, то его биссектриса разделит его на два угла по $30^\circ$ каждый.

Для лучшего запоминания в школах часто используют мнемоническое правило: «Биссектриса — это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам».

Ответ: Биссектрисой угла называется луч, который выходит из вершины этого угла и делит его на два равных угла.

14 Точка С делит отрезок AB на два отрезка. Как найти длину отрезка AB, если известны длины отрезков АС и СВ?

Для того чтобы найти длину отрезка AB, который разделен точкой C на два отрезка (AC и CB), необходимо воспользоваться аксиомой измерения отрезков.

Эта аксиома гласит, что если точка C лежит на отрезке AB, то длина всего отрезка AB равна сумме длин его частей — отрезков AC и CB. Точка C, находящаяся на отрезке AB, как раз и создает такую ситуацию.

Таким образом, для нахождения общей длины отрезка AB нужно выполнить простое арифметическое действие — сложение.

Это можно выразить с помощью следующей математической формулы:

$AB = AC + CB$

Здесь $AB$, $AC$ и $CB$ обозначают длины соответствующих отрезков.

Пример: Предположим, длина отрезка $AC$ составляет 5 см, а длина отрезка $CB$ — 12 см. Чтобы найти длину отрезка $AB$, мы складываем эти значения:

$AB = 5 \text{ см} + 12 \text{ см} = 17 \text{ см}$

Следовательно, длина отрезка AB равна 17 см.

Ответ: Чтобы найти длину отрезка AB, необходимо сложить длины отрезков AC и CB.

15 Что такое длина ломаной?

Ломаная линия (или просто ломаная) — это геометрическая фигура, которая состоит из отрезков, последовательно соединенных своими концами. Эти отрезки называются звеньями ломаной, а точки их соединения — вершинами.

Длиной ломаной называется сумма длин всех ее звеньев.

Чтобы вычислить длину ломаной, необходимо найти длину каждого ее звена и сложить полученные значения. Если ломаная $A_1A_2...A_n$ состоит из $n-1$ звеньев (отрезков $A_1A_2, A_2A_3, \dots, A_{n-1}A_n$), то ее длина $L$ рассчитывается по формуле:
$L = |A_1A_2| + |A_2A_3| + \dots + |A_{n-1}A_n|$

Эту же формулу можно записать более компактно с использованием знака суммирования:
$L = \sum_{i=1}^{n-1} |A_iA_{i+1}|$

Пример. Пусть ломаная состоит из трех звеньев, длины которых равны 8 см, 4 см и 11 см. Длина всей ломаной будет равна сумме длин этих звеньев:
$L = 8 \text{ см} + 4 \text{ см} + 11 \text{ см} = 23 \text{ см}$

Ответ: Длина ломаной – это сумма длин всех составляющих ее отрезков (звеньев).

16 Какое наименьшее число сторон может иметь многоугольник?

16 По определению, многоугольник — это геометрическая фигура на плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией. Чтобы ломаная линия была замкнутой и образовывала фигуру, она должна состоять из определенного минимального количества звеньев (сторон).

Рассмотрим варианты с разным числом сторон:

• С одной стороной (одним отрезком) невозможно составить замкнутую фигуру.
• С двумя сторонами (двумя отрезками) также невозможно составить замкнутую фигуру. Они могут образовывать лишь угол, но не могут замкнуть пространство.
• Три стороны — это минимальное количество, из которого можно составить замкнутую фигуру. Такая фигура называется треугольником. Треугольник является простейшим многоугольником.

Таким образом, наименьшее число сторон $n$, которое может иметь многоугольник, равно 3. В общем виде это условие записывается как $n \ge 3$.

Ответ: 3

17 Объясните, как найти периметр многоугольника?

Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. Чтобы найти периметр, необходимо последовательно выполнить два действия: сначала измерить или узнать длину каждой стороны многоугольника, а затем сложить все полученные значения.

Общий метод нахождения периметра

Этот метод подходит для абсолютно любого многоугольника. Если многоугольник имеет $n$ сторон с длинами $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$, то его периметр $P$ вычисляется по общей формуле:

$P = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n$

Эту же формулу можно записать с использованием знака суммы:

$P = \sum_{i=1}^{n} a_i$

Пример: Дан пятиугольник со сторонами 5 см, 7 см, 4 см, 6 см и 8 см. Его периметр равен:

$P = 5 + 7 + 4 + 6 + 8 = 30$ см.

Частные случаи и упрощенные формулы

Для некоторых видов многоугольников, обладающих определенными свойствами, существуют более простые формулы для расчета периметра.

Прямоугольник: У прямоугольника противоположные стороны попарно равны. Если его длина равна $a$, а ширина — $b$, то периметр $P$ можно найти по формуле:

$P = 2a + 2b = 2(a + b)$

Правильный многоугольник: У такого многоугольника все стороны равны между собой. Если у правильного многоугольника $n$ сторон и длина каждой стороны равна $a$, то его периметр $P$ вычисляется как произведение количества сторон на длину одной стороны:

$P = n \times a$

Например, для квадрата (правильный четырехугольник, $n=4$) периметр равен $P = 4a$, а для правильного шестиугольника ($n=6$) — $P = 6a$.

Ответ: Чтобы найти периметр многоугольника, нужно сложить длины всех его сторон. Для произвольного многоугольника с длинами сторон $a_1, a_2, \dots, a_n$ периметр $P$ находится по формуле $P = a_1 + a_2 + \dots + a_n$. Для частных случаев существуют упрощенные формулы: например, для прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ периметр $P = 2(a+b)$, а для правильного $n$-угольника со стороной $a$ периметр $P = n \times a$.

18 Какими инструментами пользуются для измерения расстояний?

Для измерения расстояний используется широкий спектр инструментов, выбор которых зависит от масштаба измеряемого расстояния, требуемой точности и условий измерения. Все инструменты и методы можно условно разделить на несколько групп.

Эти инструменты требуют прямого контакта с измеряемым объектом.

• Линейка: Простейший инструмент для измерения коротких прямолинейных отрезков, обычно до 1 метра. Имеет нанесенную шкалу (в миллиметрах, сантиметрах).
• Рулетка: Гибкая металлическая или тканевая лента со шкалой, свернутая в корпус. Используется для измерения расстояний от нескольких до десятков метров в строительстве, ремонте и быту.
• Штангенциркуль: Инструмент для высокоточных измерений наружных и внутренних размеров деталей, а также глубин отверстий. Точность обычно составляет 0.1, 0.05 или 0.02 мм.
• Микрометр: Более точный, чем штангенциркуль, инструмент для измерения малых линейных размеров с точностью до тысячных долей миллиметра (микрон).
• Курвиметр: Механический или электронный прибор для измерения длины извилистых линий на картах, планах и чертежах.

Эти приборы определяют расстояние до объекта без физического контакта с ним, часто на основе времени прохождения сигнала.

• Лазерный дальномер (лазерная рулетка): Измеряет расстояние путем определения времени, за которое лазерный луч достигает объекта и отражается обратно. Расстояние $s$ вычисляется по формуле $s = \frac{c \cdot t}{2}$, где $c$ — скорость света, а $t$ — время прохождения луча туда и обратно.
• Тахеометр: Комплексный геодезический инструмент, который измеряет горизонтальные и вертикальные углы, а также расстояния. Современные электронные тахеометры являются основой для большинства инженерных и топографических работ.
• GPS/ГЛОНАСС-приемники: Используют сигналы со спутниковых систем навигации для определения точных географических координат точек. Расстояние между двумя точками можно вычислить на основе их координат.
• Радиолокатор (радар): Использует радиоволны для обнаружения объектов и определения расстояния до них. Принцип аналогичен лазерному дальномеру, но в радиодиапазоне. Широко применяется в авиации, метеорологии и на море.
• Лидар (LIDAR): Технология, аналогичная радару, но использующая лазерное излучение. Обеспечивает более высокую точность и разрешение, применяется для создания трехмерных карт местности.
• Сонар (гидролокатор): Использует звуковые волны для навигации и измерения расстояний под водой. Расстояние определяется по формуле $s = \frac{v_{звука} \cdot t}{2}$, где $v_{звука}$ — скорость звука в воде.

Для измерения огромных межзвездных и межгалактических расстояний используются косвенные астрофизические методы.

• Метод тригонометрического параллакса: Основной метод для измерения расстояний до ближайших звезд. Расстояние $d$ до звезды вычисляется на основе измерения ее годичного параллакса $p$ — углового смещения на фоне далеких звезд при наблюдении с противоположных точек земной орбиты. Формула: $d \text{ (в парсеках)} = \frac{1}{p \text{ (в угловых секундах)}}$.
• Метод "стандартных свечей": Для более далеких объектов используются астрономические объекты с известной абсолютной светимостью (например, звезды-цефеиды, сверхновые типа Ia). Измеряя видимую яркость такого объекта, можно вычислить расстояние до него.
• Закон Хаббла: Для измерения расстояний до очень далеких галактик используется их красное смещение. Скорость удаления галактики $v$ связана с расстоянием до нее $d$ соотношением $v = H_0 d$, где $H_0$ — постоянная Хаббла. Измерив $v$ по спектру галактики, можно найти расстояние $d$.

Ответ: Для измерения расстояний пользуются различными инструментами и методами в зависимости от задачи: от простых (линейка, рулетка, штангенциркуль) для бытовых нужд, до сложных технологических устройств (лазерный дальномер, тахеометр, GPS, радар, лидар) для геодезии и инженерии, а также астрофизических методов (параллакс, стандартные свечи, закон Хаббла) для космических масштабов.