Страница 25 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

58 Начертите острый угол AOB и на продолжении луча ОВ отметьте точку D. Сравните углы AOB и AOD.

В соответствии с заданием, построим острый угол $\angle AOB$. Острый угол по определению имеет градусную меру больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$. Это можно записать в виде неравенства: $0^\circ < \angle AOB < 90^\circ$.

Далее, на продолжении луча $OB$ за его начало, точку $O$, отметим точку $D$. Это означает, что лучи $OB$ и $OD$ являются противоположными (или дополнительными) и вместе образуют прямую линию. Угол $\angle DOB$, образованный этими лучами, является развернутым и его величина составляет $180^\circ$.

Теперь необходимо сравнить углы $\angle AOB$ и $\angle AOD$. Эти углы имеют общую вершину $O$ и общую сторону $OA$. Две другие их стороны, $OB$ и $OD$, являются противоположными лучами. Такие углы, имеющие общую сторону, в то время как две другие стороны являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Ключевое свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$. Таким образом, мы можем записать следующее равенство:
$\angle AOB + \angle AOD = 180^\circ$

Из этого равенства выразим величину угла $\angle AOD$ через величину угла $\angle AOB$:
$\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB$

Поскольку по условию задачи $\angle AOB$ — острый, то его величина меньше $90^\circ$. Если из $180^\circ$ вычесть величину, которая меньше $90^\circ$, то результат будет больше, чем $180^\circ - 90^\circ$.
$\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB > 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$
Следовательно, угол $\angle AOD$ является тупым, так как его градусная мера больше $90^\circ$.

Таким образом, мы сравниваем острый угол $\angle AOB$ (чья мера меньше $90^\circ$) и тупой угол $\angle AOD$ (чья мера больше $90^\circ$). Очевидно, что тупой угол всегда больше острого.

Ответ: угол $AOD$ больше угла $AOB$, что записывается как $\angle AOD > \angle AOB$.

59 Начертите три угла: острый, прямой и тупой. Для каждого из них начертите смежный угол.

Для решения этой задачи необходимо для каждого из трех типов углов — острого, прямого и тупого — построить смежный с ним угол и определить его тип. Вспомним, что смежные углы — это два угла с общей вершиной и одной общей стороной, а две другие их стороны являются продолжениями друг друга и образуют прямую линию. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

Острый угол и смежный с ним

1. Сначала начертим острый угол. Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$. Обозначим его $ \angle AOB $. Пусть его величина равна $ \alpha $, где $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

2. Чтобы начертить смежный ему угол, нужно продолжить один из его лучей за вершину. Продолжим луч $OA$ так, чтобы получился новый луч $OC$, лежащий на той же прямой, что и $OA$, но направленный в противоположную сторону.

3. Полученный угол $ \angle BOC $ является смежным с углом $ \angle AOB $. Их общая сторона — луч $OB$, а стороны $OA$ и $OC$ лежат на одной прямой.

4. Найдем величину угла $ \angle BOC $. По свойству смежных углов, их сумма равна $180^\circ$. Следовательно, $ \angle BOC = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - \alpha $.

5. Так как $ \alpha $ — острый угол ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), то для смежного с ним угла $ \angle BOC $ справедливо неравенство: $90^\circ < 180^\circ - \alpha < 180^\circ$. Угол, величина которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$, называется тупым.

Ответ: угол, смежный с острым, является тупым.

Прямой угол и смежный с ним

1. Начертим прямой угол. Прямой угол — это угол, равный $90^\circ$. Обозначим его $ \angle AOB $. Таким образом, $ \angle AOB = 90^\circ $.

2. Аналогично предыдущему случаю, продолжим луч $OA$ за вершину $O$ и получим луч $OC$, который вместе с $OA$ образует прямую $AC$.

3. Угол $ \angle BOC $ будет смежным с углом $ \angle AOB $.

4. Вычислим его величину: $ \angle BOC = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ $.

5. Полученный угол также равен $90^\circ$, следовательно, он является прямым.

Ответ: угол, смежный с прямым, является прямым.

Тупой угол и смежный с ним

1. Начертим тупой угол. Тупой угол — это угол, который больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Обозначим его $ \angle AOB $. Пусть его величина равна $ \beta $, где $90^\circ < \beta < 180^\circ$.

2. Продолжим луч $OA$ за вершину $O$, чтобы получить прямую $AC$.

3. Угол $ \angle BOC $ будет смежным с углом $ \angle AOB $.

4. Найдем его величину: $ \angle BOC = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - \beta $.

5. Так как $ \beta $ — тупой угол ($90^\circ < \beta < 180^\circ$), то для смежного с ним угла $ \angle BOC $ справедливо неравенство: $0^\circ < 180^\circ - \beta < 90^\circ$. Угол, величина которого меньше $90^\circ$, называется острым.

Ответ: угол, смежный с тупым, является острым.

60 Начертите неразвёрнутый угол hk. Постройте угол h₁k₁ так, чтобы углы hk и h₁k₁ были вертикальными.

Для решения этой задачи необходимо выполнить последовательное построение, основанное на определении вертикальных углов.

Сначала начертим неразвёрнутый угол hk. Неразвёрнутый угол — это угол, градусная мера которого не равна 180°. Он образован двумя лучами, h и k, которые выходят из общей вершины (назовём её точкой O).

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых, при этом стороны одного угла являются продолжением сторон другого. Чтобы построить угол h?k?, вертикальный углу hk, нам нужно достроить лучи h и k до прямых.

Алгоритм построения следующий:

1. Из произвольной точки O проведите два луча, h и k, так, чтобы они образовали неразвёрнутый угол hk.
2. Продолжите луч h за вершину O по прямой. Полученный новый луч является дополнительным к лучу h. Обозначим его как h?. Теперь лучи h и h? лежат на одной прямой.
3. Аналогичным образом продолжите луч k за вершину O. Полученный луч-продолжение обозначьте как k?. Теперь лучи k и k? также лежат на одной прямой.
4. Угол, образованный лучами h? и k?, и есть искомый угол h?k?. По определению, он является вертикальным к углу hk.

Схематическое изображение построения представлено ниже:

В результате построения углы hk и h?k? являются вертикальными. Важнейшее свойство таких углов — их равенство: $\angle hk = \angle h_1k_1$.

Ответ: Чтобы построить угол h?k?, вертикальный углу hk, необходимо каждую из сторон угла hk (лучи h и k) продолжить за их общую вершину. Новые лучи (h? и k?), являющиеся продолжениями исходных, образуют искомый угол h?k?.

61 Начертите неразвёрнутый угол MON и отметьте точку Р внутри угла и точку Q вне его. С помощью чертёжного угольника и линейки через точки Р и Q проведите прямые, перпендикулярные к прямым OM и ON.

Для решения этой задачи выполним последовательность построений с помощью линейки и чертёжного угольника.

1. Построение угла и расстановка точек

Сначала начертим неразвёрнутый угол $MON$. Неразвёрнутый угол — это угол, градусная мера которого не равна $180^\circ$. Для этого из точки $O$ (вершины угла) проведём два луча $OM$ и $ON$. Затем отметим точку $P$ внутри угла (в области между лучами) и точку $Q$ вне этого угла.

2. Построение перпендикуляров через точку P

а) Построение прямой, перпендикулярной $OM$ и проходящей через точку $P$.

Для этого:

1. Приложим линейку так, чтобы её край совпадал с прямой (лучом) $OM$.
2. К линейке приложим чертёжный угольник одной из сторон, образующих прямой угол.
3. Будем двигать угольник вдоль линейки до тех пор, пока вторая сторона угольника (также образующая прямой угол) не пройдёт через точку $P$.
4. Проведём прямую вдоль этой стороны угольника. Полученная прямая пройдёт через точку $P$ и будет перпендикулярна прямой $OM$. Обозначим эту прямую как $a$. Таким образом, $a \perp OM$.

б) Построение прямой, перпендикулярной $ON$ и проходящей через точку $P$.

Действуем аналогично:

1. Приложим линейку к прямой $ON$.
2. Приложим к ней угольник.
3. Сдвинем угольник вдоль линейки, пока его вторая сторона не окажется на точке $P$.
4. Проведём прямую вдоль этой стороны. Эта прямая (обозначим её $b$) пройдёт через $P$ и будет перпендикулярна $ON$, то есть $b \perp ON$.

3. Построение перпендикуляров через точку Q

а) Построение прямой, перпендикулярной $OM$ и проходящей через точку $Q$.

Повторяем ту же процедуру, что и для точки $P$, но теперь для точки $Q$ и прямой $OM$. Получим прямую $c$, проходящую через $Q$ и перпендикулярную $OM$ ($c \perp OM$).

б) Построение прямой, перпендикулярной $ON$ и проходящей через точку $Q$.

Аналогично строим прямую $d$, которая проходит через точку $Q$ и перпендикулярна прямой $ON$ ($d \perp ON$).

Ниже представлен итоговый чертёж, на котором выполнены все построения.

На чертеже:

• Прямая $a$ проходит через точку $P$ и перпендикулярна $OM$.
• Прямая $b$ проходит через точку $P$ и перпендикулярна $ON$.
• Прямая $c$ проходит через точку $Q$ и перпендикулярна $OM$.
• Прямая $d$ проходит через точку $Q$ и перпендикулярна $ON$.

Ответ: Построение выполнено и показано на чертеже выше. Через точки $P$ и $Q$ проведены прямые $a, b, c, d$, перпендикулярные сторонам угла $MON$.

62 Найдите угол, смежный с углом ABC, если: a) ∠ABC = 111°; б) ∠ABC = 90°; в) ∠ABC = 15°.

Смежные углы — это два угла, которые вместе составляют развернутый угол. Сумма смежных углов всегда равна $180°$. Для того чтобы найти угол, смежный с углом $ABC$, необходимо из $180°$ вычесть величину угла $ABC$.

а)

Дан угол $?ABC = 111°$.

Найдем смежный с ним угол, вычтя его величину из $180°$:

$180° - 111° = 69°$

Ответ: $69°$

б)

Дан угол $?ABC = 90°$.

Найдем смежный с ним угол:

$180° - 90° = 90°$

Ответ: $90°$

в)

Дан угол $?ABC = 15°$.

Найдем смежный с ним угол:

$180° - 15° = 165°$

Ответ: $165°$

63 Один из смежных углов прямой. Каким (острым, прямым, тупым) является другой угол?

Смежные углы — это два угла, которые имеют общую вершину и одну общую сторону, а две другие их стороны лежат на одной прямой. Основное свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$ (градусов), так как вместе они образуют развернутый угол.

Обозначим два смежных угла как $\angle 1$ и $\angle 2$. Тогда их сумма будет:
$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$

Согласно условию задачи, один из этих углов является прямым. Прямой угол — это угол, градусная мера которого равна $90^\circ$. Пусть $\angle 1 = 90^\circ$.

Подставим это значение в формулу суммы смежных углов, чтобы найти величину второго угла:
$90^\circ + \angle 2 = 180^\circ$

Теперь решим это уравнение относительно $\angle 2$:
$\angle 2 = 180^\circ - 90^\circ$
$\angle 2 = 90^\circ$

В результате мы получили, что второй смежный угол также равен $90^\circ$. Угол, равный $90^\circ$, по определению является прямым.

Ответ: другой угол является прямым.

64 Верно ли утверждение: если смежные углы равны, то они прямые?

Данное утверждение является верным. Для того чтобы это доказать, необходимо воспользоваться определением и свойством смежных углов.

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой и являются дополнительными лучами. Основное свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$.

Пусть у нас есть два смежных угла, обозначим их как $\alpha$ и $\beta$. Согласно свойству смежных углов:
$\alpha + \beta = 180^\circ$

В условии утверждения говорится, что эти смежные углы равны между собой. То есть:
$\alpha = \beta$

Теперь мы можем подставить второе равенство в первое, заменив угол $\beta$ на равный ему угол $\alpha$:
$\alpha + \alpha = 180^\circ$
$2\alpha = 180^\circ$

Решим полученное уравнение, чтобы найти величину угла $\alpha$:
$\alpha = \frac{180^\circ}{2}$
$\alpha = 90^\circ$

Поскольку по условию $\alpha = \beta$, то и угол $\beta$ также равен $90^\circ$.

По определению, угол, величина которого составляет $90^\circ$, является прямым углом. Следовательно, оба угла — и $\alpha$, и $\beta$ — являются прямыми. Таким образом, исходное утверждение полностью доказано.

Ответ: Да, утверждение верно.

65 Найдите смежные углы hk и kl, если:

a) ∠hk меньше ∠kl на 40°;

б) ∠hk больше ∠kl на 120°;

в) ∠hk больше ∠kl на 47°18′;

г) ∠hk = 3∠kl;

д) ∠hk : ∠kl = 5 : 4.

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой (лежат на одной прямой). Основное свойство смежных углов, которое используется для решения задачи, заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$.

Для всех пунктов задачи будем использовать основное уравнение:$\angle hk + \angle kl = 180^\circ$

а)

По условию задачи $\angle hk$ меньше $\angle kl$ на $40^\circ$. Запишем это в виде уравнения: $\angle kl = \angle hk + 40^\circ$.Пусть $\angle hk = x$, тогда $\angle kl = x + 40^\circ$.Подставим эти выражения в основное уравнение для смежных углов:$x + (x + 40^\circ) = 180^\circ$$2x + 40^\circ = 180^\circ$$2x = 180^\circ - 40^\circ$$2x = 140^\circ$$x = 70^\circ$Следовательно, $\angle hk = 70^\circ$.Тогда $\angle kl = 70^\circ + 40^\circ = 110^\circ$.

Ответ: $\angle hk = 70^\circ$, $\angle kl = 110^\circ$.

б)

По условию, $\angle hk$ больше $\angle kl$ на $120^\circ$. Запишем это как: $\angle hk = \angle kl + 120^\circ$.Пусть $\angle kl = x$, тогда $\angle hk = x + 120^\circ$.Подставим в основное уравнение:$(x + 120^\circ) + x = 180^\circ$$2x + 120^\circ = 180^\circ$$2x = 180^\circ - 120^\circ$$2x = 60^\circ$$x = 30^\circ$Следовательно, $\angle kl = 30^\circ$.Тогда $\angle hk = 30^\circ + 120^\circ = 150^\circ$.

Ответ: $\angle hk = 150^\circ$, $\angle kl = 30^\circ$.

в)

По условию, $\angle hk$ больше $\angle kl$ на $47^\circ 18'$. Запишем это как: $\angle hk = \angle kl + 47^\circ 18'$.Пусть $\angle kl = x$, тогда $\angle hk = x + 47^\circ 18'$.Подставим в основное уравнение:$(x + 47^\circ 18') + x = 180^\circ$$2x + 47^\circ 18' = 180^\circ$$2x = 180^\circ - 47^\circ 18'$Чтобы выполнить вычитание, представим $180^\circ$ как $179^\circ 60'$ (поскольку $1^\circ = 60'$):$2x = 179^\circ 60' - 47^\circ 18' = (179-47)^\circ (60-18)' = 132^\circ 42'$Теперь найдем $x$:$x = \frac{132^\circ 42'}{2} = 66^\circ 21'$Следовательно, $\angle kl = 66^\circ 21'$.Тогда $\angle hk = 66^\circ 21' + 47^\circ 18' = (66+47)^\circ (21+18)' = 113^\circ 39'$.

Ответ: $\angle hk = 113^\circ 39'$, $\angle kl = 66^\circ 21'$.

г)

По условию, $\angle hk = 3\angle kl$.Пусть $\angle kl = x$, тогда $\angle hk = 3x$.Подставим в основное уравнение:$3x + x = 180^\circ$$4x = 180^\circ$$x = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$Следовательно, $\angle kl = 45^\circ$.Тогда $\angle hk = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$.

Ответ: $\angle hk = 135^\circ$, $\angle kl = 45^\circ$.

д)

По условию, отношение углов $\angle hk : \angle kl = 5 : 4$.Это значит, что углы можно представить в виде $\angle hk = 5x$ и $\angle kl = 4x$, где $x$ — некоторая общая мера (коэффициент пропорциональности).Подставим в основное уравнение:$5x + 4x = 180^\circ$$9x = 180^\circ$$x = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ$Теперь найдем величины углов:$\angle hk = 5 \cdot 20^\circ = 100^\circ$$\angle kl = 4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$

Ответ: $\angle hk = 100^\circ$, $\angle kl = 80^\circ$.

66 На рисунке 52 углы BOD и COD равны. Найдите угол AOD, если ∠COB=148°.

По условию задачи, углы $?BOD$ и $?COD$ равны. Вместе они образуют угол $?COB$. Следовательно, луч $OD$ является биссектрисой угла $?COB$.

Величина угла $?COB$ равна сумме величин углов $?COD$ и $?BOD$:

$?COB = ?COD + ?BOD$

Так как $?BOD = ?COD$ и $?COB = 148°$, мы можем записать:

$148° = ?BOD + ?BOD = 2 \cdot ?BOD$

Отсюда найдем величину угла $?BOD$:

$?BOD = \frac{148°}{2} = 74°$

Углы $?AOD$ и $?BOD$ являются смежными, так как их стороны $OA$ и $OB$ лежат на одной прямой $AB$. Сумма смежных углов равна $180°$.

$?AOD + ?BOD = 180°$

Теперь мы можем найти искомый угол $?AOD$, вычтя из $180°$ величину угла $?BOD$:

$?AOD = 180° - ?BOD = 180° - 74° = 106°$

Ответ: $106°$

67 Даны два равных угла. Равны ли смежные с ними углы?

Да, смежные с ними углы будут равны. Докажем это.

Пусть нам даны два равных угла, $\angle 1$ и $\angle 2$. По условию, $\angle 1 = \angle 2$.

Пусть $\angle 3$ является смежным углом для $\angle 1$, а $\angle 4$ — смежным углом для $\angle 2$.

По определению смежных углов, их сумма равна $180^{\circ}$. Таким образом, мы можем записать два равенства:

$\angle 1 + \angle 3 = 180^{\circ}$

$\angle 2 + \angle 4 = 180^{\circ}$

Из этих равенств мы можем выразить величины углов $\angle 3$ и $\angle 4$:

$\angle 3 = 180^{\circ} - \angle 1$

$\angle 4 = 180^{\circ} - \angle 2$

Поскольку по условию задачи $\angle 1 = \angle 2$, то правые части этих двух выражений равны между собой ($180^{\circ} - \angle 1 = 180^{\circ} - \angle 2$). Следовательно, должны быть равны и левые части.

$\angle 3 = \angle 4$

Таким образом, мы доказали, что если два угла равны, то и смежные с ними углы также равны.

Ответ: да, равны.

68 Найдите изображённые на рисунке 47 углы:

а) 1, 3, 4, если ∠2=117°;

б) 1, 2, 4, если ∠3=43°27′.

а)При пересечении двух прямых образуются пары вертикальных и смежных углов. Вертикальные углы равны, а сумма смежных углов составляет $180^\circ$. В данной задаче, судя по нумерации, углы 1 и 3, а также 2 и 4 являются вертикальными. Углы 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1 являются смежными.
Дано, что $\angle 2 = 117^\circ$.
1. Найдём $\angle 4$. Углы $\angle 2$ и $\angle 4$ являются вертикальными, следовательно, они равны.
$\angle 4 = \angle 2 = 117^\circ$.
2. Найдём $\angle 1$. Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ являются смежными, значит, их сумма равна $180^\circ$.
$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$
$\angle 1 = 180^\circ - \angle 2 = 180^\circ - 117^\circ = 63^\circ$.
3. Найдём $\angle 3$. Углы $\angle 1$ и $\angle 3$ являются вертикальными, следовательно, они равны.
$\angle 3 = \angle 1 = 63^\circ$.
Ответ: $\angle 1 = 63^\circ$, $\angle 3 = 63^\circ$, $\angle 4 = 117^\circ$.

б)Дано, что $\angle 3 = 43^\circ 27'$.
1. Найдём $\angle 1$. Углы $\angle 1$ и $\angle 3$ являются вертикальными, следовательно, они равны.
$\angle 1 = \angle 3 = 43^\circ 27'$.
2. Найдём $\angle 2$. Углы $\angle 2$ и $\angle 3$ являются смежными, значит, их сумма равна $180^\circ$.
$\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$
$\angle 2 = 180^\circ - \angle 3 = 180^\circ - 43^\circ 27'$.
Для выполнения вычитания представим $180^\circ$ как $179^\circ 60'$ (так как $1^\circ = 60'$).
$\angle 2 = 179^\circ 60' - 43^\circ 27' = (179-43)^\circ (60-27)' = 136^\circ 33'$.
3. Найдём $\angle 4$. Углы $\angle 2$ и $\angle 4$ являются вертикальными, следовательно, они равны.
$\angle 4 = \angle 2 = 136^\circ 33'$.
Ответ: $\angle 1 = 43^\circ 27'$, $\angle 2 = 136^\circ 33'$, $\angle 4 = 136^\circ 33'$.

69 Найдите неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если:

а) сумма двух из них равна 114°;

б) сумма трёх углов равна 220°.

а)

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Среди них есть две пары равных вертикальных углов и четыре пары смежных углов, сумма которых равна $180^\circ$. Пусть образовавшиеся углы — это $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$ и $\angle 4$, где $\angle 1$ и $\angle 3$ — одна пара вертикальных углов, а $\angle 2$ и $\angle 4$ — другая.

По условию, сумма двух из этих углов равна $114^\circ$.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Эти два угла — смежные (например, $\angle 1$ и $\angle 2$). Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$. Так как $114^\circ \neq 180^\circ$, этот вариант невозможен.

2. Эти два угла — вертикальные (например, $\angle 1$ и $\angle 3$). Вертикальные углы равны. Пусть величина каждого из них равна $\alpha$. Тогда их сумма: $\alpha + \alpha = 114^\circ$ $2\alpha = 114^\circ$ $\alpha = \frac{114^\circ}{2} = 57^\circ$ Итак, два угла равны по $57^\circ$.

Оставшиеся два угла ($\angle 2$ и $\angle 4$) также являются вертикальными и равны между собой. Обозначим их величину как $\beta$. Угол $\beta$ является смежным с углом $\alpha$. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$. $\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 57^\circ = 123^\circ$. Значит, два других угла равны по $123^\circ$.

Таким образом, при пересечении прямых образовались углы $57^\circ, 123^\circ, 57^\circ, 123^\circ$.

Ответ: $57^\circ, 123^\circ, 57^\circ, 123^\circ$.

б)

Сумма всех четырех углов, образованных при пересечении двух прямых, всегда равна $360^\circ$. Обозначим эти углы $\angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4$.

По условию, сумма трех из них равна $220^\circ$. Для определенности, пусть $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 220^\circ$.

Зная сумму всех четырех углов, мы можем найти величину четвертого угла, $\angle 4$: $\angle 4 = (\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4) - (\angle 1 + \angle 2 + \angle 3)$ $\angle 4 = 360^\circ - 220^\circ = 140^\circ$.

Итак, один из углов равен $140^\circ$. Угол, вертикальный ему (в нашем случае это $\angle 2$), также равен $140^\circ$.

Остальные два угла ($\angle 1$ и $\angle 3$) являются смежными к углам в $140^\circ$. Найдем их величину, зная, что сумма смежных углов равна $180^\circ$: $180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

Следовательно, два других угла равны по $40^\circ$. В результате мы получили две пары углов: $40^\circ, 40^\circ$ и $140^\circ, 140^\circ$.

Проверим, выполняется ли условие задачи. Сумма трех углов может быть $40^\circ + 140^\circ + 40^\circ = 220^\circ$. Условие выполняется.

Ответ: $40^\circ, 140^\circ, 40^\circ, 140^\circ$.