Номер 69, страница 25 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

13. Построение прямых углов на местности. § 6. Перпендикулярные прямые. Глава 1. Начальные геометрические сведения - номер 69, страница 25.

69 Найдите неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если:

а) сумма двух из них равна 114°;

б) сумма трёх углов равна 220°.

а)

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Среди них есть две пары равных вертикальных углов и четыре пары смежных углов, сумма которых равна $180^\circ$. Пусть образовавшиеся углы — это $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$ и $\angle 4$, где $\angle 1$ и $\angle 3$ — одна пара вертикальных углов, а $\angle 2$ и $\angle 4$ — другая.

По условию, сумма двух из этих углов равна $114^\circ$.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Эти два угла — смежные (например, $\angle 1$ и $\angle 2$). Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$. Так как $114^\circ \neq 180^\circ$, этот вариант невозможен.

2. Эти два угла — вертикальные (например, $\angle 1$ и $\angle 3$). Вертикальные углы равны. Пусть величина каждого из них равна $\alpha$. Тогда их сумма: $\alpha + \alpha = 114^\circ$ $2\alpha = 114^\circ$ $\alpha = \frac{114^\circ}{2} = 57^\circ$ Итак, два угла равны по $57^\circ$.

Оставшиеся два угла ($\angle 2$ и $\angle 4$) также являются вертикальными и равны между собой. Обозначим их величину как $\beta$. Угол $\beta$ является смежным с углом $\alpha$. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$. $\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 57^\circ = 123^\circ$. Значит, два других угла равны по $123^\circ$.

Таким образом, при пересечении прямых образовались углы $57^\circ, 123^\circ, 57^\circ, 123^\circ$.

Ответ: $57^\circ, 123^\circ, 57^\circ, 123^\circ$.

б)

Сумма всех четырех углов, образованных при пересечении двух прямых, всегда равна $360^\circ$. Обозначим эти углы $\angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4$.

По условию, сумма трех из них равна $220^\circ$. Для определенности, пусть $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 220^\circ$.

Зная сумму всех четырех углов, мы можем найти величину четвертого угла, $\angle 4$: $\angle 4 = (\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4) - (\angle 1 + \angle 2 + \angle 3)$ $\angle 4 = 360^\circ - 220^\circ = 140^\circ$.

Итак, один из углов равен $140^\circ$. Угол, вертикальный ему (в нашем случае это $\angle 2$), также равен $140^\circ$.

Остальные два угла ($\angle 1$ и $\angle 3$) являются смежными к углам в $140^\circ$. Найдем их величину, зная, что сумма смежных углов равна $180^\circ$: $180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

Следовательно, два других угла равны по $40^\circ$. В результате мы получили две пары углов: $40^\circ, 40^\circ$ и $140^\circ, 140^\circ$.

Проверим, выполняется ли условие задачи. Сумма трех углов может быть $40^\circ + 140^\circ + 40^\circ = 220^\circ$. Условие выполняется.

Ответ: $40^\circ, 140^\circ, 40^\circ, 140^\circ$.