Номер 74, страница 26 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

13. Построение прямых углов на местности. § 6. Перпендикулярные прямые. Глава 1. Начальные геометрические сведения - номер 74, страница 26.

74 Через точку А, не лежащую на прямой а, проведены три прямые, пересекающие прямую а. Докажите, что по крайней мере две из них не перпендикулярны к прямой а.

Для решения данной задачи воспользуемся методом доказательства от противного.

Пусть даны точка $A$, не лежащая на прямой $a$ ($A \notin a$), и три различные прямые $l_1, l_2, l_3$, которые проходят через точку $A$ и пересекают прямую $a$. Нам необходимо доказать, что по крайней мере две из этих трех прямых не перпендикулярны прямой $a$.

Предположим обратное: пусть утверждение неверно. Это означает, что менее двух прямых не перпендикулярны прямой $a$. Иными словами, это значит, что две или даже три прямые из нашего набора перпендикулярны прямой $a$. Возьмем случай, когда как минимум две прямые перпендикулярны $a$. Пусть это будут прямые $l_1$ и $l_2$.

Таким образом, мы имеем две различные прямые, $l_1$ и $l_2$, которые обе проходят через точку $A$ и обе перпендикулярны прямой $a$. То есть, $l_1 \perp a$ и $l_2 \perp a$.

Однако, согласно фундаментальной теореме евклидовой геометрии, из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Поскольку точка $A$ не лежит на прямой $a$, через нее может проходить лишь одна-единственная прямая, перпендикулярная $a$. Наше предположение о существовании двух таких прямых ($l_1$ и $l_2$) напрямую противоречит этой теореме.

Следовательно, наше первоначальное предположение было ложным. Это означает, что не более одной прямой, проходящей через точку $A$, может быть перпендикулярно прямой $a$. Если из трех прямых максимум одна перпендикулярна $a$, то оставшиеся ($3-1=2$) две (или даже все три, если перпендикуляра среди них нет) не перпендикулярны прямой $a$.

Таким образом, мы доказали, что по крайней мере две из трех прямых, проведенных через точку $A$ и пересекающих прямую $a$, не перпендикулярны прямой $a$.

Ответ: Утверждение доказывается от противного. Если предположить, что две из трех прямых перпендикулярны прямой $a$, то это будет означать, что через одну точку $A$, не лежащую на прямой $a$, проходят два различных перпендикуляра к этой прямой. Это противоречит теореме о единственности перпендикуляра, проведенного из точки к прямой. Следовательно, наше предположение неверно, и максимум одна из трех прямых может быть перпендикулярна $a$. А значит, по меньшей мере две из них не перпендикулярны прямой $a$.