Номер 70, страница 26 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

13. Построение прямых углов на местности. § 6. Перпендикулярные прямые. Глава 1. Начальные геометрические сведения - номер 70, страница 26.

70 На рисунке 47 (см. с. 23) найдите углы 1, 2, 3, 4, если:

a) ∠2 + ∠4 = 220°;

б) 3 (∠1 + ∠3) = ∠2 + ∠4;

в) ∠2 − ∠1 = 30°.

Для решения задачи будем исходить из того, что углы 1, 2, 3 и 4 образованы при пересечении двух прямых. При пересечении двух прямых образуются пары вертикальных и смежных углов, обладающие следующими свойствами:

• Вертикальные углы равны. В нашем случае это означает, что $\angle 1 = \angle 3$ и $\angle 2 = \angle 4$.
• Сумма смежных углов равна 180°. Например, $\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}$.

а) По условию $\angle 2 + \angle 4 = 220^{\circ}$.

Поскольку углы $\angle 2$ и $\angle 4$ являются вертикальными, они равны: $\angle 2 = \angle 4$. Заменим в условии $\angle 4$ на $\angle 2$:

$\angle 2 + \angle 2 = 220^{\circ}$

$2\angle 2 = 220^{\circ}$

$\angle 2 = \frac{220^{\circ}}{2} = 110^{\circ}$

Так как $\angle 2 = \angle 4$, то $\angle 4 = 110^{\circ}$.

Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ — смежные, их сумма равна 180°. Найдем $\angle 1$:

$\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}$

$\angle 1 + 110^{\circ} = 180^{\circ}$

$\angle 1 = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$

Углы $\angle 1$ и $\angle 3$ — вертикальные, следовательно, $\angle 3 = \angle 1 = 70^{\circ}$.

Ответ: $\angle 1 = 70^{\circ}$, $\angle 2 = 110^{\circ}$, $\angle 3 = 70^{\circ}$, $\angle 4 = 110^{\circ}$.

б) По условию $3 (\angle 1 + \angle 3) = \angle 2 + \angle 4$.

Используя свойства вертикальных углов ($\angle 1 = \angle 3$ и $\angle 2 = \angle 4$), преобразуем данное равенство:

$3 (\angle 1 + \angle 1) = \angle 2 + \angle 2$

$3 \cdot (2\angle 1) = 2\angle 2$

$6\angle 1 = 2\angle 2$

$\angle 2 = 3\angle 1$

Так как углы $\angle 1$ и $\angle 2$ — смежные, их сумма равна 180°: $\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}$.

Подставим в это уравнение выражение $\angle 2 = 3\angle 1$:

$\angle 1 + 3\angle 1 = 180^{\circ}$

$4\angle 1 = 180^{\circ}$

$\angle 1 = \frac{180^{\circ}}{4} = 45^{\circ}$

Теперь найдем остальные углы:

$\angle 3 = \angle 1 = 45^{\circ}$ (как вертикальные).

$\angle 2 = 3\angle 1 = 3 \cdot 45^{\circ} = 135^{\circ}$.

$\angle 4 = \angle 2 = 135^{\circ}$ (как вертикальные).

Ответ: $\angle 1 = 45^{\circ}$, $\angle 2 = 135^{\circ}$, $\angle 3 = 45^{\circ}$, $\angle 4 = 135^{\circ}$.

в) По условию $\angle 2 - \angle 1 = 30^{\circ}$.

Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ являются смежными, поэтому их сумма составляет 180°: $\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}$.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными. Из первого уравнения можно выразить $\angle 2$: $\angle 2 = \angle 1 + 30^{\circ}$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\angle 1 + (\angle 1 + 30^{\circ}) = 180^{\circ}$

$2\angle 1 + 30^{\circ} = 180^{\circ}$

$2\angle 1 = 180^{\circ} - 30^{\circ}$

$2\angle 1 = 150^{\circ}$

$\angle 1 = \frac{150^{\circ}}{2} = 75^{\circ}$

Теперь найдем величину угла $\angle 2$:

$\angle 2 = 75^{\circ} + 30^{\circ} = 105^{\circ}$

Так как $\angle 1$ и $\angle 3$ — вертикальные, то $\angle 3 = \angle 1 = 75^{\circ}$. Аналогично, $\angle 2$ и $\angle 4$ — вертикальные, поэтому $\angle 4 = \angle 2 = 105^{\circ}$.

Ответ: $\angle 1 = 75^{\circ}$, $\angle 2 = 105^{\circ}$, $\angle 3 = 75^{\circ}$, $\angle 4 = 105^{\circ}$.