Номер 65, страница 25 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

13. Построение прямых углов на местности. § 6. Перпендикулярные прямые. Глава 1. Начальные геометрические сведения - номер 65, страница 25.

65 Найдите смежные углы hk и kl, если:

a) ∠hk меньше ∠kl на 40°;

б) ∠hk больше ∠kl на 120°;

в) ∠hk больше ∠kl на 47°18′;

г) ∠hk = 3∠kl;

д) ∠hk : ∠kl = 5 : 4.

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой (лежат на одной прямой). Основное свойство смежных углов, которое используется для решения задачи, заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$.

Для всех пунктов задачи будем использовать основное уравнение:$\angle hk + \angle kl = 180^\circ$

а)

По условию задачи $\angle hk$ меньше $\angle kl$ на $40^\circ$. Запишем это в виде уравнения: $\angle kl = \angle hk + 40^\circ$.Пусть $\angle hk = x$, тогда $\angle kl = x + 40^\circ$.Подставим эти выражения в основное уравнение для смежных углов:$x + (x + 40^\circ) = 180^\circ$$2x + 40^\circ = 180^\circ$$2x = 180^\circ - 40^\circ$$2x = 140^\circ$$x = 70^\circ$Следовательно, $\angle hk = 70^\circ$.Тогда $\angle kl = 70^\circ + 40^\circ = 110^\circ$.

Ответ: $\angle hk = 70^\circ$, $\angle kl = 110^\circ$.

б)

По условию, $\angle hk$ больше $\angle kl$ на $120^\circ$. Запишем это как: $\angle hk = \angle kl + 120^\circ$.Пусть $\angle kl = x$, тогда $\angle hk = x + 120^\circ$.Подставим в основное уравнение:$(x + 120^\circ) + x = 180^\circ$$2x + 120^\circ = 180^\circ$$2x = 180^\circ - 120^\circ$$2x = 60^\circ$$x = 30^\circ$Следовательно, $\angle kl = 30^\circ$.Тогда $\angle hk = 30^\circ + 120^\circ = 150^\circ$.

Ответ: $\angle hk = 150^\circ$, $\angle kl = 30^\circ$.

в)

По условию, $\angle hk$ больше $\angle kl$ на $47^\circ 18'$. Запишем это как: $\angle hk = \angle kl + 47^\circ 18'$.Пусть $\angle kl = x$, тогда $\angle hk = x + 47^\circ 18'$.Подставим в основное уравнение:$(x + 47^\circ 18') + x = 180^\circ$$2x + 47^\circ 18' = 180^\circ$$2x = 180^\circ - 47^\circ 18'$Чтобы выполнить вычитание, представим $180^\circ$ как $179^\circ 60'$ (поскольку $1^\circ = 60'$):$2x = 179^\circ 60' - 47^\circ 18' = (179-47)^\circ (60-18)' = 132^\circ 42'$Теперь найдем $x$:$x = \frac{132^\circ 42'}{2} = 66^\circ 21'$Следовательно, $\angle kl = 66^\circ 21'$.Тогда $\angle hk = 66^\circ 21' + 47^\circ 18' = (66+47)^\circ (21+18)' = 113^\circ 39'$.

Ответ: $\angle hk = 113^\circ 39'$, $\angle kl = 66^\circ 21'$.

г)

По условию, $\angle hk = 3\angle kl$.Пусть $\angle kl = x$, тогда $\angle hk = 3x$.Подставим в основное уравнение:$3x + x = 180^\circ$$4x = 180^\circ$$x = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$Следовательно, $\angle kl = 45^\circ$.Тогда $\angle hk = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$.

Ответ: $\angle hk = 135^\circ$, $\angle kl = 45^\circ$.

д)

По условию, отношение углов $\angle hk : \angle kl = 5 : 4$.Это значит, что углы можно представить в виде $\angle hk = 5x$ и $\angle kl = 4x$, где $x$ — некоторая общая мера (коэффициент пропорциональности).Подставим в основное уравнение:$5x + 4x = 180^\circ$$9x = 180^\circ$$x = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ$Теперь найдем величины углов:$\angle hk = 5 \cdot 20^\circ = 100^\circ$$\angle kl = 4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$

Ответ: $\angle hk = 100^\circ$, $\angle kl = 80^\circ$.