Номер 58, страница 25 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

13. Построение прямых углов на местности. § 6. Перпендикулярные прямые. Глава 1. Начальные геометрические сведения - номер 58, страница 25.

58 Начертите острый угол AOB и на продолжении луча ОВ отметьте точку D. Сравните углы AOB и AOD.

В соответствии с заданием, построим острый угол $\angle AOB$. Острый угол по определению имеет градусную меру больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$. Это можно записать в виде неравенства: $0^\circ < \angle AOB < 90^\circ$.

Далее, на продолжении луча $OB$ за его начало, точку $O$, отметим точку $D$. Это означает, что лучи $OB$ и $OD$ являются противоположными (или дополнительными) и вместе образуют прямую линию. Угол $\angle DOB$, образованный этими лучами, является развернутым и его величина составляет $180^\circ$.

Теперь необходимо сравнить углы $\angle AOB$ и $\angle AOD$. Эти углы имеют общую вершину $O$ и общую сторону $OA$. Две другие их стороны, $OB$ и $OD$, являются противоположными лучами. Такие углы, имеющие общую сторону, в то время как две другие стороны являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Ключевое свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$. Таким образом, мы можем записать следующее равенство:
$\angle AOB + \angle AOD = 180^\circ$

Из этого равенства выразим величину угла $\angle AOD$ через величину угла $\angle AOB$:
$\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB$

Поскольку по условию задачи $\angle AOB$ — острый, то его величина меньше $90^\circ$. Если из $180^\circ$ вычесть величину, которая меньше $90^\circ$, то результат будет больше, чем $180^\circ - 90^\circ$.
$\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB > 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$
Следовательно, угол $\angle AOD$ является тупым, так как его градусная мера больше $90^\circ$.

Таким образом, мы сравниваем острый угол $\angle AOB$ (чья мера меньше $90^\circ$) и тупой угол $\angle AOD$ (чья мера больше $90^\circ$). Очевидно, что тупой угол всегда больше острого.

Ответ: угол $AOD$ больше угла $AOB$, что записывается как $\angle AOD > \angle AOB$.