Номер 55, страница 22 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 5. Измерение углов. 10. Измерение углов на местности. Глава 1. Начальные геометрические сведения - номер 55, страница 22.

55 На рисунке 44 угол AOD — прямой, ∠AOB =∠BOC=∠COD. Найдите угол, образованный биссектрисами углов AOB и COD.

По условию задачи дано, что угол $AOD$ — прямой, следовательно, его градусная мера равна $90°$. Также известно, что лучи $OB$ и $OC$ делят угол $AOD$ на три равных угла: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD$.

1. Найдём величину углов AOB, BOC и COD

Поскольку угол $AOD$ состоит из суммы трех углов $AOB$, $BOC$ и $COD$, и эти три угла равны между собой, мы можем найти величину каждого из них, разделив общий угол на 3:
$\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \frac{\angle AOD}{3}$
$\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \frac{90°}{3} = 30°$.

2. Найдём угол, образованный биссектрисами углов AOB и COD

Пусть $OM$ — биссектриса угла $\angle AOB$, а $ON$ — биссектриса угла $\angle COD$. Нам нужно найти величину угла $\angle MON$.

Биссектриса делит угол пополам. Следовательно:
Угол $\angle MOB$ составляет половину угла $\angle AOB$: $\angle MOB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{30°}{2} = 15°$.
Угол $\angle CON$ составляет половину угла $\angle COD$: $\angle CON = \frac{1}{2} \angle COD = \frac{30°}{2} = 15°$.

Искомый угол $\angle MON$ является суммой трех углов: $\angle MOB$, $\angle BOC$ и $\angle CON$.
$\angle MON = \angle MOB + \angle BOC + \angle CON$
Подставим найденные значения в формулу:
$\angle MON = 15° + 30° + 15° = 60°$.

Ответ: $60°$.