Страница 27 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

19 Что такое градусная мера угла?

Градусная мера угла — это величина, характеризующая «раскрытие» угла, то есть размер части плоскости, заключенной между его сторонами (лучами). Она измеряется в специальных единицах — градусах и его долях.

Основной единицей измерения является градус.

1. Определение градуса ($^\circ$)
Развернутый угол (угол, стороны которого образуют прямую линию) принято считать равным $180$ градусам. Соответственно, один градус — это угол, равный $1/180$ части развернутого угла.

Эквивалентное и более распространенное определение связано с окружностью: если разделить полную окружность на $360$ равных частей и из центра провести лучи через точки деления, то угол между двумя соседними лучами будет равен одному градусу ($1^\circ$). Таким образом, полный угол (полный оборот) составляет $360^\circ$.

2. Дольные единицы градуса
Для более точного измерения углов используют меньшие единицы, основанные на шестидесятеричной системе счисления:

• Минута (угловая минута), обозначается знаком штриха ($'$). Один градус содержит 60 минут: $1^\circ = 60'$.
• Секунда (угловая секунда), обозначается знаком двойного штриха ($''$). Одна минута содержит 60 секунд: $1' = 60''$.

Из этого следует, что один градус содержит $60 \times 60 = 3600$ секунд: $1^\circ = 3600''$.

3. Примеры и виды углов
В зависимости от градусной меры углы классифицируют:

• Прямой угол: равен $90^\circ$.
• Острый угол: меньше $90^\circ$.
• Тупой угол: больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.
• Развернутый угол: равен $180^\circ$.
• Полный угол: равен $360^\circ$.

Для измерения градусной меры углов на практике используют инструмент, который называется транспортир.

Ответ: Градусная мера угла — это положительное число, показывающее, во сколько раз данный угол больше или меньше угла, принятого за единицу измерения (градус). Градус ($1^\circ$) определяется как $1/360$ часть полного угла (полной окружности) или $1/180$ часть развернутого угла.

20 Луч ОС делит угол AOB на два угла. Как найти градусную меру угла AOB, если известны градусные меры углов АОС и СОВ?

Когда луч $OC$ делит угол $AOB$ на два угла ($AOC$ и $COB$), это означает, что луч $OC$ проходит между сторонами угла $AOB$ — лучами $OA$ и $OB$. В этом случае, согласно основной аксиоме измерения углов (или свойству сложения углов), градусная мера всего угла $AOB$ равна сумме градусных мер его частей — углов $AOC$ и $COB$.

Это можно выразить с помощью следующей формулы:

$ \angle AOB = \angle AOC + \angle COB $

Здесь $ \angle AOB $, $ \angle AOC $ и $ \angle COB $ обозначают градусные меры соответствующих углов.

Например, если известно, что градусная мера угла $AOC$ составляет $25^\circ$, а градусная мера угла $COB$ составляет $40^\circ$, то для нахождения градусной меры угла $AOB$ необходимо сложить эти два значения:

$ \angle AOB = 25^\circ + 40^\circ = 65^\circ $

Ответ: Чтобы найти градусную меру угла $AOB$, нужно сложить градусные меры углов $AOC$ и $COB$.

21 Какой угол называется острым; прямым; тупым?

Острый угол

Острым называется угол, градусная мера которого меньше 90 градусов. Если обозначить величину угла греческой буквой альфа ($\alpha$), то для острого угла будет справедливо неравенство: $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Такие углы визуально выглядят «острее» или «уже», чем прямой угол. Примерами острых углов являются углы в равностороннем треугольнике, каждый из которых равен 60°.

Ответ: Острый угол — это угол, который меньше 90°.

Прямой угол

Прямым называется угол, градусная мера которого в точности равна 90 градусам. Прямой угол составляет четверть полного оборота или половину развернутого угла (который равен 180°). Лучи, образующие прямой угол, называются перпендикулярными. Математически это записывается как $\alpha = 90^\circ$. На чертежах прямой угол часто обозначается не дугой, а маленьким квадратом в вершине угла. Все углы в квадрате или прямоугольнике являются прямыми.

Ответ: Прямой угол — это угол, равный 90°.

Тупой угол

Тупым называется угол, градусная мера которого больше 90 градусов, но меньше 180 градусов. Для тупого угла ($\alpha$) выполняется условие: $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Визуально такой угол выглядит «шире» или «более раскрытым», чем прямой угол, но не достигает состояния прямой линии (развернутого угла). Примером фигуры с тупыми углами является правильный пятиугольник, где каждый внутренний угол равен 108°.

Ответ: Тупой угол — это угол, который больше 90°, но меньше 180°.

22 Какие углы называются смежными? Чему равна сумма смежных углов?

Какие углы называются смежными?

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми, то есть лежат на одной прямой.

Проще говоря, если взять развернутый угол (угол в $180^\circ$) и из его вершины провести луч, который разделит его на два угла, то эти два получившихся угла и будут смежными. У них будет общая вершина, одна общая сторона (тот самый луч, который мы провели), а две другие стороны будут лежать на одной прямой.

Например, если лучи $OA$ и $OB$ образуют прямую, а луч $OC$ выходит из точки $O$, то углы $ \angle AOC $ и $ \angle BOC $ являются смежными.

Ответ: Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными полупрямыми.

Чему равна сумма смежных углов?

Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

Это свойство следует прямо из определения смежных углов. Поскольку их стороны, которые не являются общими, образуют прямую линию, то вместе смежные углы составляют развернутый угол. Величина развернутого угла равна $180^\circ$.

Если величины смежных углов обозначить как $ \alpha $ и $ \beta $, то их связь можно выразить формулой: $ \alpha + \beta = 180^\circ $

Ответ: Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

23 Какие углы называются вертикальными? Каким свойством обладают вертикальные углы?

Какие углы называются вертикальными?

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. Это пары углов, которые расположены друг напротив друга у вершины, образованной пересечением. Более строгое определение гласит: два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжением (дополнительными лучами) сторон другого.

Например, при пересечении двух прямых образуются четыре угла. Если мы обозначим их по порядку $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$ и $\angle 4$, то $\angle 1$ и $\angle 3$ будут одной парой вертикальных углов, а $\angle 2$ и $\angle 4$ — другой.

Ответ: Вертикальными называются два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Каким свойством обладают вертикальные углы?

Основное свойство вертикальных углов заключается в том, что они всегда равны друг другу.

Это свойство легко доказать. Рассмотрим два смежных угла, например, $\angle 1$ и $\angle 2$, образованных при пересечении двух прямых. Смежные углы — это углы, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$. Таким образом, мы можем записать:

$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$

Теперь рассмотрим другую пару смежных углов, $\angle 2$ и $\angle 3$. Для них также справедливо:

$\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$

Поскольку правые части обоих равенств равны, мы можем приравнять и левые части:

$\angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle 3$

Вычтем из обеих частей равенства $\angle 2$ и получим:

$\angle 1 = \angle 3$

Таким образом, мы доказали, что вертикальные углы ($\angle 1$ и $\angle 3$) равны. Аналогичное доказательство можно провести для второй пары вертикальных углов ($\angle 2$ и $\angle 4$).

Ответ: Вертикальные углы равны.

24 Какие прямые называются перпендикулярными?

Перпендикулярными прямыми в геометрии называют две прямые, которые пересекаются под прямым углом. Величина прямого угла составляет $90^\circ$ (девяносто градусов).

Когда две прямые пересекаются, они образуют четыре угла. Если один из этих углов прямой, то все остальные три угла также будут прямыми, поскольку смежные углы в сумме дают $180^\circ$, а вертикальные углы равны.

Для обозначения перпендикулярности двух прямых, например, прямой a и прямой b, используется специальный математический символ $ \perp $. Запись $a \perp b$ читается как «прямая a перпендикулярна прямой b».

Существуют важные свойства и определения, связанные с перпендикулярностью:

• В планиметрии (на плоскости): Через любую точку на плоскости (как лежащую на данной прямой, так и вне её) можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной. Это одна из аксиом евклидовой геометрии.
• В аналитической геометрии: Если две прямые на координатной плоскости заданы уравнениями с угловым коэффициентом $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, то они перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно -1: $$k_1 \cdot k_2 = -1$$ Это условие не распространяется на случай вертикальных и горизонтальных прямых. Горизонтальная прямая, заданная уравнением $y=c$, перпендикулярна вертикальной прямой, заданной уравнением $x=d$. Угловой коэффициент горизонтальной прямой равен 0, а у вертикальной он не определён.
• В стереометрии (в пространстве): Две прямые в трёхмерном пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен $90^\circ$. В отличие от плоскости, в пространстве перпендикулярные прямые могут не только пересекаться, но и быть скрещивающимися (то есть не лежать в одной плоскости и не иметь общих точек).

Ответ: Перпендикулярными называются прямые, которые пересекаются и образуют между собой прямые углы (то есть углы в $90^\circ$).

25 Объясните, почему две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

Это утверждение является свойством параллельных прямых в евклидовой геометрии. Его можно объяснить несколькими способами.

Способ 1: С использованием признаков параллельности прямых

1. Обозначим две данные прямые как $a$ и $b$, а третью прямую, которой они обе перпендикулярны, как $c$.

2. По условию задачи, прямая $a$ перпендикулярна прямой $c$ ($a \perp c$), и прямая $b$ перпендикулярна прямой $c$ ($b \perp c$).

3. По определению перпендикулярных прямых, при их пересечении образуются прямые углы, то есть углы, равные $90^\circ$.

4. Рассмотрим прямую $c$ как секущую, которая пересекает прямые $a$ и $b$. При этом образуются различные углы. Например, соответственные углы. Угол между прямыми $a$ и $c$ равен $90^\circ$. Соответственный ему угол между прямыми $b$ и $c$ также равен $90^\circ$.

5. Существует признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то эти прямые параллельны.

6. Поскольку в нашем случае соответственные углы равны ($90^\circ = 90^\circ$), мы можем сделать вывод, что прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).

7. По определению, параллельные прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не пересекаются.

Способ 2: Доказательство от противного

1. Снова обозначим прямые как $a$, $b$ и $c$, где $a \perp c$ и $b \perp c$.

2. Предположим обратное тому, что нужно доказать: пусть прямые $a$ и $b$ всё-таки пересекаются в некоторой точке $M$.

3. В таком случае, из точки $M$ к прямой $c$ проведены два различных перпендикуляра — прямая $a$ и прямая $b$.

4. Это противоречит теореме о перпендикуляре к прямой, которая гласит, что из любой точки, не лежащей на прямой, можно провести только один перпендикуляр к этой прямой.

5. Поскольку наше предположение (о том, что прямые $a$ и $b$ пересекаются) привело к противоречию с известной теоремой, оно неверно.

6. Таким образом, прямые $a$ и $b$ не могут пересекаться.

Ответ: Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются, потому что они параллельны друг другу. Это следует из признака параллельности прямых (при пересечении секущей образуются равные соответственные углы по $90^\circ$) или доказывается от противного, так как предположение об их пересечении противоречит теореме о единственности перпендикуляра, проведенного из точки к прямой.

26 Какие приборы применяют для построения прямых углов на местности?

Для построения прямых углов ($90^\circ$) на местности, например, при строительных или геодезических работах, применяют различные приборы и методы, от простейших до высокоточных электронных устройств.

Экер — это один из простейших геодезических приборов, предназначенный для построения на местности перпендикулярных линий (прямых углов). Существуют разные конструкции экеров:

• Крестообразный экер: Состоит из двух брусков, скрепленных под прямым углом. На концах брусков закреплены диоптры (простые прицельные приспособления с узкими щелями). Прибор устанавливается на веху (шест) в точке, из которой нужно отложить прямой угол. Совмещая взгляд через одну пару диоптров с направлением на известную точку, смотрят через другую пару диоптров, чтобы определить направление, перпендикулярное первому.
• Зеркальный экер: Более сложный прибор, использующий две зеркальные призмы, расположенные под углом $45^\circ$ друг к другу. Он позволяет одновременно видеть в поле зрения два объекта, направления на которые образуют прямой угол в точке наблюдения.

Экеры обеспечивают невысокую точность и используются для небольших по объему работ, не требующих высокой точности.
Ответ: Экер (крестообразный, зеркальный) используется для визирования и построения перпендикулярных направлений на местности.

Этот метод основан на обратной теореме Пифагора и не требует специальных оптических приборов. Самый известный способ — построение так называемого "египетского треугольника" со сторонами, имеющими соотношение 3:4:5. Для построения прямого угла этим методом необходимо:

1. В точке, где должен быть прямой угол (вершина A), забить колышек. Вдоль одного из направлений будущего угла отложить отрезок, кратный 4 (например, 4 метра), и забить второй колышек (точка B).
2. Взять два отрезка мерной ленты или верёвки длиной, кратной 3 и 5 (соответственно, 3 и 5 метров).
3. Приложить нулевую отметку 3-метрового отрезка к точке A, а нулевую отметку 5-метрового отрезка к точке B.
4. Найти точку (C), где свободные концы отрезков (отметка "3 м" и "5 м") сойдутся. Забить в этой точке третий колышек. Угол CAB будет прямым, так как для сторон полученного треугольника выполняется равенство $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Этот метод прост, но его точность зависит от аккуратности измерений и ровности рельефа.
Ответ: Мерная лента и колышки позволяют построить прямой угол, используя геометрический метод, основанный на теореме Пифагора (например, построение треугольника со сторонами 3-4-5).

Теодолит — это высокоточный оптико-механический геодезический прибор для измерения горизонтальных и вертикальных углов. Построение прямого угла является одной из его базовых функций.

1. Теодолит устанавливают на штатив точно над точкой, в которой необходимо построить прямой угол.
2. С помощью зрительной трубы прибор наводят на точку, задающую одно из направлений угла.
3. Фиксируют отсчёт по горизонтальному кругу (лимбу), устанавливая его на 0°00'00".
4. Освобождают закрепительный винт и поворачивают зрительную трубу в горизонтальной плоскости до тех пор, пока отсчёт на лимбе не станет равным $90^\circ00'00"$.
5. Направление, указанное осью зрительной трубы, будет перпендикулярно исходному. По этому направлению устанавливают веху или колышек.

Теодолиты обеспечивают высокую точность, необходимую в капитальном строительстве и геодезии.
Ответ: Теодолит используется для точного измерения и откладывания на местности заданных горизонтальных углов, в том числе и прямых.

Тахеометр — это современный электронный геодезический прибор, который является комбинацией электронного теодолита и светодальномера. Он позволяет с высокой точностью измерять не только углы, но и расстояния. Процесс построения прямого угла с тахеометром аналогичен работе с теодолитом, но значительно проще и быстрее, так как все отсчёты выводятся на цифровой дисплей. Многие тахеометры имеют встроенное программное обеспечение для автоматического выполнения стандартных задач, таких как разбивка перпендикуляров.
Ответ: Электронный тахеометр — это современный высокоточный прибор для быстрого и точного измерения и построения углов (включая прямые) и расстояний на местности.

Это современные лазерные приборы, которые проецируют видимые лазерные лучи. Многие модели (ротационные или с перекрестными лучами) могут одновременно проецировать горизонтальный и один или несколько вертикальных лучей. Пересечение этих лучей образует прямой угол. Специальные напольные лазерные угольники проецируют два луча на поверхность под углом $90^\circ$ друг к другу. Хотя они чаще применяются внутри помещений, для работы на местности в дневное время их используют со специальным приёмником лазерного излучения, который позволяет "ловить" невидимый днём луч.
Ответ: Лазерные построители плоскостей, нивелиры и углопостроители используются для быстрого и наглядного построения прямых углов с помощью проецируемых лазерных лучей.

75 Отметьте четыре точки так, чтобы никакие три не лежали на одной прямой. Через каждую пару точек проведите прямую. Сколько получилось прямых?

Для решения этой задачи необходимо выполнить два шага.

1. Отметить четыре точки.

По условию, никакие три точки не должны лежать на одной прямой. Это значит, что точки нужно расположить в "общем положении". Самый простой способ представить такое расположение — это вершины любого выпуклого четырехугольника. Обозначим эти точки буквами А, Б, В и Г.

2. Провести прямые и посчитать их количество.

Теперь нужно провести прямую через каждую возможную пару точек. Давайте систематически перечислим все пары:

• Прямая через точки А и Б.
• Прямая через точки А и В.
• Прямая через точки А и Г.
• Прямая через точки Б и В.
• Прямая через точки Б и Г.
• Прямая через точки В и Г.

После того как мы соединили все возможные пары, мы видим, что других комбинаций из двух точек не осталось. Подсчитав количество проведенных прямых, получаем 6. Так как никакие три точки не лежат на одной прямой, каждая из этих шести прямых будет уникальной.

Эту задачу можно решить и математически, используя формулу из комбинаторики для числа сочетаний. Нам нужно выбрать 2 точки из 4, чтобы определить одну прямую. Порядок точек в паре не важен (прямая АБ — это та же прямая, что и БА).

Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ элементов:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае, $n=4$ (общее количество точек), а $k=2$ (количество точек, определяющих прямую).

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$

Ответ: 6 прямых.

76 Даны четыре прямые, каждые две из которых пересекаются. Сколько точек пересечения имеют эти прямые, если через каждую точку пересечения проходят только две прямые?

Для решения этой задачи необходимо определить, сколько уникальных точек пересечения могут образовать четыре прямые при заданных условиях.

Условия задачи:
1. Каждые две прямые пересекаются. Это означает, что среди четырех прямых нет ни одной пары параллельных прямых.
2. Через каждую точку пересечения проходят только две прямые. Это означает, что никакие три (или четыре) прямые не пересекаются в одной и той же точке. Каждая точка пересечения определяется уникальной парой прямых.

Из этих условий следует, что количество точек пересечения равно количеству уникальных пар прямых, которые можно составить из четырех данных прямых. Эта задача сводится к нахождению числа сочетаний из 4 элементов по 2.

Общая формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ выглядит так:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае:
– общее количество прямых $n = 4$;
– количество прямых, образующих одну точку пересечения $k = 2$.

Подставляем значения в формулу:
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \cdot (2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$

Также можно решить задачу последовательным подсчетом:
– Первая прямая пересекает три другие, что дает 3 точки пересечения.
– Вторая прямая пересекает две оставшиеся (ее пересечение с первой уже посчитано), что дает 2 новые точки.
– Третья прямая пересекает последнюю оставшуюся прямую (ее пересечения с первой и второй уже посчитаны), что дает 1 новую точку.
– Четвертая прямая уже имеет учтенные пересечения со всеми тремя другими прямыми.

Суммируя количество точек, получаем: $3 + 2 + 1 = 6$.

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 6 точек пересечения.

77 Сколько неразвёрнутых углов образуется при пересечении трёх прямых, проходящих через одну точку?

Рассмотрим три прямые, которые пересекаются в одной общей точке. Каждая прямая состоит из двух лучей, исходящих из точки пересечения в противоположных направлениях. Таким образом, три прямые образуют $3 \times 2 = 6$ лучей, исходящих из одной точки.

Угол определяется парой лучей с общим началом. Наша задача — найти количество пар лучей, которые образуют неразвёрнутый угол (то есть угол, не равный $180^\circ$).

Сначала найдём общее количество углов, которое можно составить из 6 лучей. Это число равно количеству способов выбрать 2 луча из 6, то есть числу сочетаний из 6 по 2. Формула для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Подставим наши значения: $n=6$ (общее число лучей) и $k=2$ (число лучей в угле).

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

Всего можно образовать 15 пар лучей, что соответствует 15 углам.

Теперь определим, сколько из этих углов являются развёрнутыми. Развёрнутый угол ($180^\circ$) образуется двумя лучами, лежащими на одной прямой и направленными в разные стороны (противоположными лучами). Поскольку у нас 3 прямые, существует ровно 3 пары таких противоположных лучей. Следовательно, образуется 3 развёрнутых угла.

Чтобы найти количество неразвёрнутых углов, необходимо вычесть количество развёрнутых углов из общего числа углов:

$15 - 3 = 12$

Таким образом, образуется 12 неразвёрнутых углов. Эти углы включают в себя 6 наименьших углов, образованных соседними лучами, и 6 углов, каждый из которых состоит из двух соседних наименьших углов.

Ответ: 12

78 Точка N лежит на отрезке МР. Расстояние между точками М и Р равно 24 см, а расстояние между точками N и М в 2 раза больше расстояния между точками N и Р. Найдите расстояние:

а) между точками N и Р;

б) между точками N и М.

По условию задачи, точка N лежит на отрезке MP. Это означает, что длина всего отрезка MP равна сумме длин отрезков MN и NP. Длина отрезка MP составляет 24 см. Следовательно, мы можем записать следующее равенство:

$MN + NP = 24$

Также нам известно, что расстояние между точками N и M в 2 раза больше расстояния между точками N и P. Это можно выразить формулой:

$MN = 2 \cdot NP$

Для решения задачи составим и решим систему уравнений. Обозначим расстояние NP через $x$. Тогда расстояние MN будет равно $2x$. Подставим эти выражения в первое уравнение:

$2x + x = 24$

$3x = 24$

$x = \frac{24}{3}$

$x = 8$

Мы нашли значение $x$, которое представляет собой расстояние между точками N и P.

а) между точками N и P;

Расстояние между точками N и P равно $x$, то есть 8 см.

Ответ: 8 см.

б) между точками N и M.

Расстояние между точками N и M равно $2x$. Подставим найденное значение $x$:

$MN = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Для проверки можно сложить длины полученных отрезков: $16 \text{ см} + 8 \text{ см} = 24 \text{ см}$, что соответствует длине всего отрезка MP.

Ответ: 16 см.

79 Три точки K, L, М лежат на одной прямой, KL = 6 см, LM = 10 см. Каким может быть расстояние KМ? Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж.

Поскольку точки K, L и M лежат на одной прямой, существует два возможных варианта их взаимного расположения, которые определяют расстояние KM.

Случай 1: Точка L находится между точками K и M

В этом случае точки на прямой расположены в порядке K — L — M. Расстояние KM равно сумме расстояний KL и LM.

Чертёж для случая 1:

Вычисляем расстояние KM:

$KM = KL + LM = 6 \text{ см} + 10 \text{ см} = 16 \text{ см}$

Ответ: 16 см.

Случай 2: Точка K находится между точками L и M

В этом случае точки на прямой расположены в порядке L — K — M. Тогда отрезок LM ($10$ см) является суммой отрезков LK ($6$ см) и KM. Чтобы найти расстояние KM, нужно из длины отрезка LM вычесть длину отрезка LK.

Чертёж для случая 2:

Вычисляем расстояние KM:

$KM = LM - LK = 10 \text{ см} - 6 \text{ см} = 4 \text{ см}$

Ответ: 4 см.

Примечание: Третий логически возможный вариант, когда точка M лежит между K и L, в данном случае невозможен. Если бы точки располагались в порядке K — M — L, то выполнялось бы равенство $KL = KM + ML$. Подставив известные значения, мы получили бы $6 = KM + 10$, откуда $KM = -4$ см. Поскольку расстояние не может быть отрицательной величиной, этот случай исключается.

80 Отрезок AB длины а разделён точками Р и Q на три отрезка АР, PQ и QB так, что АР = 2PQ = 2QB. Найдите расстояние между:

а) точкой А и серединой отрезка QB;

б) серединами отрезков АР и QВ.

По условию задачи, отрезок $AB$ длиной $a$ разделен точками $P$ и $Q$ на три отрезка $AP$, $PQ$ и $QB$. Между длинами этих отрезков существует соотношение: $AP = 2PQ = 2QB$.

Из равенства $2PQ = 2QB$ следует, что $PQ = QB$.
Обозначим длину отрезка $QB$ через $x$. Тогда $QB = x$ и $PQ = x$.
Из равенства $AP = 2QB$ следует, что $AP = 2x$.

Сумма длин трех отрезков равна длине всего отрезка $AB$:

$AP + PQ + QB = a$

Подставим выражения для длин отрезков через $x$:

$2x + x + x = a$

$4x = a$

$x = a/4$

Теперь найдем длины каждого из отрезков:

$QB = x = a/4$

$PQ = x = a/4$

$AP = 2x = 2 \cdot (a/4) = a/2$

Проверим: $AP + PQ + QB = a/2 + a/4 + a/4 = 2a/4 + a/4 + a/4 = 4a/4 = a$. Все верно.

а) точкой А и серединой отрезка QB;

Найдем расстояние от точки $A$ до середины отрезка $QB$. Обозначим середину отрезка $QB$ точкой $M$. Расстояние от точки $A$ до точки $M$ можно найти как сумму длин отрезков $AP$, $PQ$ и $QM$.

$AM = AP + PQ + QM$

Длина отрезка $QM$ равна половине длины отрезка $QB$:

$QM = QB / 2 = (a/4) / 2 = a/8$

Теперь можем вычислить искомое расстояние:

$AM = AP + PQ + QM = a/2 + a/4 + a/8$

Приведем дроби к общему знаменателю 8:

$AM = 4a/8 + 2a/8 + a/8 = (4a + 2a + a) / 8 = 7a/8$

Ответ: $7a/8$

б) серединами отрезков AP и QB.

Найдем расстояние между серединами отрезков $AP$ и $QB$. Обозначим середину отрезка $AP$ точкой $N$, а середину отрезка $QB$ мы уже обозначили точкой $M$. Расстояние $NM$ можно найти как сумму длин отрезков $NP$, $PQ$ и $QM$.

Отрезок $NP$ — это половина отрезка $AP$ (та часть, которая прилегает к точке P):

$NP = AP / 2 = (a/2) / 2 = a/4$

Длину отрезка $PQ$ мы уже знаем: $PQ = a/4$.

Длину отрезка $QM$ мы нашли в предыдущем пункте: $QM = a/8$.

Теперь можем вычислить искомое расстояние $NM$:

$NM = NP + PQ + QM = a/4 + a/4 + a/8$

Приведем дроби к общему знаменателю 8:

$NM = 2a/8 + 2a/8 + a/8 = (2a + 2a + a) / 8 = 5a/8$

Ответ: $5a/8$

81 Отрезок длины m разделён:

а) на три равные части;

б) на пять равных частей.

Найдите расстояние между серединами крайних частей.

а) Исходный отрезок имеет длину $m$. Его разделили на три равные части. Длина каждой такой части равна $\frac{m}{3}$.
Крайними частями являются первая и третья. Нам нужно найти расстояние между их серединами.
Представим отрезок на числовой прямой, где его начало в точке 0, а конец в точке $m$.
Точки деления будут находиться в $\frac{m}{3}$ и $\frac{2m}{3}$.
Первая часть — это отрезок от 0 до $\frac{m}{3}$. Её середина находится в точке $C_1 = \frac{0 + \frac{m}{3}}{2} = \frac{m}{6}$.
Третья (последняя) часть — это отрезок от $\frac{2m}{3}$ до $m$. Её середина находится в точке $C_2 = \frac{\frac{2m}{3} + m}{2} = \frac{\frac{5m}{3}}{2} = \frac{5m}{6}$.
Расстояние между серединами крайних частей равно разности их координат:
$L = C_2 - C_1 = \frac{5m}{6} - \frac{m}{6} = \frac{4m}{6} = \frac{2m}{3}$.
Также можно рассуждать иначе: искомое расстояние складывается из половины длины первого отрезка, полной длины среднего (второго) отрезка и половины длины третьего отрезка.
$L = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{m}{3}\right) + \frac{m}{3} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{m}{3}\right) = \frac{m}{6} + \frac{m}{3} + \frac{m}{6} = \frac{m + 2m + m}{6} = \frac{4m}{6} = \frac{2m}{3}$.
Ответ: $\frac{2m}{3}$.

б) Исходный отрезок имеет длину $m$. Его разделили на пять равных частей. Длина каждой такой части равна $\frac{m}{5}$.
Крайними частями являются первая и пятая. Нам нужно найти расстояние между их серединами.
Представим отрезок на числовой прямой от 0 до $m$.
Первая часть — это отрезок от 0 до $\frac{m}{5}$. Её середина находится в точке $C_1 = \frac{0 + \frac{m}{5}}{2} = \frac{m}{10}$.
Пятая (последняя) часть — это отрезок от $\frac{4m}{5}$ до $m$. Её середина находится в точке $C_2 = \frac{\frac{4m}{5} + m}{2} = \frac{\frac{9m}{5}}{2} = \frac{9m}{10}$.
Расстояние между серединами крайних частей равно разности их координат:
$L = C_2 - C_1 = \frac{9m}{10} - \frac{m}{10} = \frac{8m}{10} = \frac{4m}{5}$.
Также можно рассуждать иначе: искомое расстояние складывается из половины длины первого отрезка, полных длин трех средних отрезков (второго, третьего, четвертого) и половины длины пятого отрезка.
$L = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{m}{5}\right) + \left(3 \cdot \frac{m}{5}\right) + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{m}{5}\right) = \frac{m}{10} + \frac{3m}{5} + \frac{m}{10} = \frac{m + 6m + m}{10} = \frac{8m}{10} = \frac{4m}{5}$.
Ответ: $\frac{4m}{5}$.