Номер 80, страница 27 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 6. Перпендикулярные прямые. Глава 1. Начальные геометрические сведения - номер 80, страница 27.

80 Отрезок AB длины а разделён точками Р и Q на три отрезка АР, PQ и QB так, что АР = 2PQ = 2QB. Найдите расстояние между:

а) точкой А и серединой отрезка QB;

б) серединами отрезков АР и QВ.

По условию задачи, отрезок $AB$ длиной $a$ разделен точками $P$ и $Q$ на три отрезка $AP$, $PQ$ и $QB$. Между длинами этих отрезков существует соотношение: $AP = 2PQ = 2QB$.

Из равенства $2PQ = 2QB$ следует, что $PQ = QB$.
Обозначим длину отрезка $QB$ через $x$. Тогда $QB = x$ и $PQ = x$.
Из равенства $AP = 2QB$ следует, что $AP = 2x$.

Сумма длин трех отрезков равна длине всего отрезка $AB$:

$AP + PQ + QB = a$

Подставим выражения для длин отрезков через $x$:

$2x + x + x = a$

$4x = a$

$x = a/4$

Теперь найдем длины каждого из отрезков:

$QB = x = a/4$

$PQ = x = a/4$

$AP = 2x = 2 \cdot (a/4) = a/2$

Проверим: $AP + PQ + QB = a/2 + a/4 + a/4 = 2a/4 + a/4 + a/4 = 4a/4 = a$. Все верно.

а) точкой А и серединой отрезка QB;

Найдем расстояние от точки $A$ до середины отрезка $QB$. Обозначим середину отрезка $QB$ точкой $M$. Расстояние от точки $A$ до точки $M$ можно найти как сумму длин отрезков $AP$, $PQ$ и $QM$.

$AM = AP + PQ + QM$

Длина отрезка $QM$ равна половине длины отрезка $QB$:

$QM = QB / 2 = (a/4) / 2 = a/8$

Теперь можем вычислить искомое расстояние:

$AM = AP + PQ + QM = a/2 + a/4 + a/8$

Приведем дроби к общему знаменателю 8:

$AM = 4a/8 + 2a/8 + a/8 = (4a + 2a + a) / 8 = 7a/8$

Ответ: $7a/8$

б) серединами отрезков AP и QB.

Найдем расстояние между серединами отрезков $AP$ и $QB$. Обозначим середину отрезка $AP$ точкой $N$, а середину отрезка $QB$ мы уже обозначили точкой $M$. Расстояние $NM$ можно найти как сумму длин отрезков $NP$, $PQ$ и $QM$.

Отрезок $NP$ — это половина отрезка $AP$ (та часть, которая прилегает к точке P):

$NP = AP / 2 = (a/2) / 2 = a/4$

Длину отрезка $PQ$ мы уже знаем: $PQ = a/4$.

Длину отрезка $QM$ мы нашли в предыдущем пункте: $QM = a/8$.

Теперь можем вычислить искомое расстояние $NM$:

$NM = NP + PQ + QM = a/4 + a/4 + a/8$

Приведем дроби к общему знаменателю 8:

$NM = 2a/8 + 2a/8 + a/8 = (2a + 2a + a) / 8 = 5a/8$

Ответ: $5a/8$