Номер 83, страница 28 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 6. Перпендикулярные прямые. Глава 1. Начальные геометрические сведения - номер 83, страница 28.

83* Точки А, В и С лежат на одной прямой, точки М и N — середины отрезков AB и АС. Докажите, что ВС = 2MN.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим все возможные случаи взаимного расположения точек A, B и C на прямой, так как от этого зависит, как будут вычисляться длины отрезков.

Случай 1: Точки B и C лежат по одну сторону от точки A.

В этом случае точка A не находится между B и C. Это означает, что B и C лежат на одном луче, выходящем из точки A. Пусть, для определенности, точка C находится дальше от A, чем точка B. Тогда порядок точек на прямой: A, B, C. Длина отрезка AC является суммой длин отрезков AB и BC: $AC = AB + BC$. Из этого равенства можно выразить длину BC: $BC = AC - AB$.

По условию, M — середина отрезка AB, а N — середина отрезка AC. Это означает, что $AM = \frac{1}{2}AB$ и $AN = \frac{1}{2}AC$.

Так как $AB < AC$, то и $AM < AN$. Обе точки M и N лежат на том же луче, что и B и C, поэтому точка M находится между A и N. Длину отрезка MN можно найти как разность длин отрезков AN и AM:

$MN = AN - AM = \frac{1}{2}AC - \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}(AC - AB)$

Подставляя в это выражение $BC$ вместо $AC - AB$, получаем:

$MN = \frac{1}{2}BC$, что равносильно $BC = 2MN$.

Если бы точка B находилась дальше от A, чем точка C (порядок A, C, B), рассуждения были бы аналогичными: $BC = AB - AC$ и $MN = AM - AN = \frac{1}{2}(AB - AC) = \frac{1}{2}BC$. Результат остался бы тем же.

Случай 2: Точка A лежит между точками B и C.

В этом случае порядок расположения точек, например, B, A, C. Длина отрезка BC равна сумме длин отрезков BA и AC: $BC = BA + AC$.

M — середина отрезка AB, это значит, что M лежит между B и A, и $AM = \frac{1}{2}AB$.

N — середина отрезка AC, это значит, что N лежит между A и C, и $AN = \frac{1}{2}AC$.

Так как точки B и C лежат по разные стороны от A, то и их середины M и N (относительно A) также лежат по разные стороны от A. Таким образом, точка A находится между M и N. Длина отрезка MN равна сумме длин отрезков MA и AN.

$MN = MA + AN = \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}(AB + AC)$

Так как длина отрезка BA равна длине AB, то $BC = AB + AC$. Подставляя это в выражение для MN, получаем:

$MN = \frac{1}{2}BC$, что эквивалентно $BC = 2MN$.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные конфигурации расположения точек A, B и C на прямой и в каждом случае доказали, что искомое равенство выполняется.

Ответ: Утверждение, что $BC = 2MN$, доказано.