Номер 88, страница 28 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 6. Перпендикулярные прямые. Глава 1. Начальные геометрические сведения - номер 88, страница 28.

88 Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Доказательство:

Пусть две прямые AC и BD пересекаются в точке O. При пересечении образуются две пары вертикальных углов: $\angle AOD$ и $\angle BOC$, а также $\angle AOB$ и $\angle DOC$. Докажем утверждение для одной пары углов, например, для $\angle AOD$ и $\angle BOC$.

Проведем луч OK, который является биссектрисой угла $\angle AOD$.
Проведем луч OL, который является биссектрисой угла $\angle BOC$.

Нам необходимо доказать, что лучи OK и OL являются дополнительными друг другу, то есть лежат на одной прямой. Для этого нужно показать, что угол, образованный этими лучами, является развернутым, то есть $\angle KOL = 180^\circ$.

1. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle AOD = \angle BOC$. Обозначим величину этих углов как $\alpha$.

2. Поскольку OK — биссектриса угла $\angle AOD$, она делит его пополам:
$\angle AOK = \angle KOD = \frac{1}{2}\angle AOD = \frac{\alpha}{2}$.

3. Аналогично, поскольку OL — биссектриса угла $\angle BOC$, она делит его пополам:
$\angle BOL = \angle LOC = \frac{1}{2}\angle BOC = \frac{\alpha}{2}$.

4. Углы $\angle AOD$ и $\angle AOB$ являются смежными, так как они имеют общую сторону OA, а стороны OD и OB являются дополнительными лучами прямой BD. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.
Следовательно, $\angle AOD + \angle AOB = 180^\circ$.
Отсюда можно выразить $\angle AOB$: $\angle AOB = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - \alpha$.

5. Угол $\angle KOL$ можно представить как сумму трех смежных углов: $\angle AOK$, $\angle AOB$ и $\angle BOL$.
$\angle KOL = \angle AOK + \angle AOB + \angle BOL$.

6. Подставим в это равенство значения углов, которые мы нашли:
$\angle KOL = \frac{\alpha}{2} + (180^\circ - \alpha) + \frac{\alpha}{2}$
Сгруппируем слагаемые:
$\angle KOL = (\frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2}) + 180^\circ - \alpha$
$\angle KOL = \alpha + 180^\circ - \alpha$
$\angle KOL = 180^\circ$

Поскольку угол $\angle KOL$ равен $180^\circ$, он является развернутым. Это означает, что его стороны, лучи OK и OL, являются дополнительными и лежат на одной прямой.
Доказательство для второй пары вертикальных углов ($\angle AOB$ и $\angle DOC$) проводится абсолютно аналогично.
Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Биссектрисы вертикальных углов образуют развернутый угол ($180^\circ$), а значит, лежат на одной прямой.