Номер 89, страница 28 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 6. Перпендикулярные прямые. Глава 1. Начальные геометрические сведения - номер 89, страница 28.

89* Докажите, что если биссектрисы углов ABC и CBD перпендикулярны, то точки А, В и D лежат на одной прямой.

Пусть луч $BE$ является биссектрисой угла $ABC$, а луч $BF$ — биссектрисой угла $CBD$.

По определению биссектрисы угла, она делит угол на две равные части. Таким образом, мы имеем следующие равенства:
$\angle ABE = \angle EBC = \frac{1}{2} \angle ABC$
$\angle CBF = \angle FBD = \frac{1}{2} \angle CBD$

Из этих равенств следует:
$\angle ABC = 2 \cdot \angle EBC$
$\angle CBD = 2 \cdot \angle CBF$

Согласно условию задачи, биссектрисы $BE$ и $BF$ перпендикулярны. Это означает, что угол между ними равен $90^\circ$:
$\angle EBF = 90^\circ$

Углы $ABC$ и $CBD$ являются смежными, поскольку у них общая вершина $B$ и общая сторона $BC$. Угол $\angle EBF$ образован их биссектрисами и состоит из двух частей: $\angle EBC$ и $\angle CBF$.
$\angle EBF = \angle EBC + \angle CBF$
Следовательно, $\angle EBC + \angle CBF = 90^\circ$.

Чтобы доказать, что точки $A$, $B$ и $D$ лежат на одной прямой, нам нужно показать, что угол $ABD$ является развернутым, то есть равен $180^\circ$. Угол $ABD$ представляет собой сумму углов $ABC$ и $CBD$:
$\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD$

Теперь подставим в это выражение формулы для углов $ABC$ и $CBD$ через их половины, которые мы получили ранее:
$\angle ABD = (2 \cdot \angle EBC) + (2 \cdot \angle CBF)$

Вынесем общий множитель $2$ за скобки:
$\angle ABD = 2 \cdot (\angle EBC + \angle CBF)$

Мы уже установили, что сумма углов в скобках $\angle EBC + \angle CBF$ равна $90^\circ$. Подставим это значение в наше уравнение:
$\angle ABD = 2 \cdot 90^\circ = 180^\circ$

Так как угол $ABD$ равен $180^\circ$, он является развернутым углом. Это означает, что его стороны, лучи $BA$ и $BD$, лежат на одной прямой. Следовательно, точки $A$, $B$ и $D$ лежат на одной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.