Номер 90, страница 28 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 6. Перпендикулярные прямые. Глава 1. Начальные геометрические сведения - номер 90, страница 28.

90 Даны две пересекающиеся прямые а и b и точка А, не лежащая на этих прямых. Через точку А проведены прямые m и n так, что m ⊥ a, n ⊥ b. Докажите, что прямые m и n не совпадают.

Для доказательства используем метод от противного. Предположим, что прямые $m$ и $n$ совпадают. Обозначим эту общую прямую буквой $k$.

По условию задачи, прямая $m$ перпендикулярна прямой $a$ ($m \perp a$), а прямая $n$ перпендикулярна прямой $b$ ($n \perp b$).

Так как мы предположили, что $m$ и $n$ — это одна и та же прямая $k$, то получается, что прямая $k$ перпендикулярна и прямой $a$, и прямой $b$. То есть, $k \perp a$ и $k \perp b$.

В планиметрии существует теорема: если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны друг другу.

Из того, что прямые $a$ и $b$ перпендикулярны одной и той же прямой $k$, следует, что прямые $a$ и $b$ должны быть параллельны: $a \parallel b$.

Однако это утверждение противоречит исходному условию задачи, где сказано, что прямые $a$ и $b$ пересекаются. Пересекающиеся прямые не могут быть параллельными.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямые $m$ и $n$ не могут совпадать.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство строится на методе от противного. Если предположить, что прямые $m$ и $n$ совпадают, то из этого следует, что прямые $a$ и $b$ перпендикулярны одной и той же прямой. Согласно теореме, в таком случае прямые $a$ и $b$ должны быть параллельны. Это противоречит условию задачи, в котором говорится, что прямые $a$ и $b$ пересекаются. Следовательно, исходное предположение неверно, и прямые $m$ и $n$ не совпадают.