Номер 86, страница 28 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 6. Перпендикулярные прямые. Глава 1. Начальные геометрические сведения - номер 86, страница 28.

86 Найдите смежные углы, если:

а) один из них на 45° больше другого;

б) их разность равна 35°.

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой и являются продолжениями одна другой. Ключевое свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$.

Пусть искомые смежные углы будут $\alpha$ и $\beta$. Тогда их основное свойство можно записать в виде формулы:

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Теперь решим задачу для каждого из условий.

а) один из них на 45° больше другого;

Согласно условию, один угол больше другого на $45^\circ$. Пусть угол $\alpha$ будет больше угла $\beta$. Это можно записать как $\alpha = \beta + 45^\circ$.

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha = \beta + 45^\circ \end{cases}$

Подставим выражение для $\alpha$ из второго уравнения в первое:

$(\beta + 45^\circ) + \beta = 180^\circ$

Решим полученное уравнение относительно $\beta$:

$2\beta + 45^\circ = 180^\circ$

$2\beta = 180^\circ - 45^\circ$

$2\beta = 135^\circ$

$\beta = \frac{135^\circ}{2} = 67.5^\circ$

Теперь найдем величину второго угла $\alpha$:

$\alpha = 67.5^\circ + 45^\circ = 112.5^\circ$

Проверка: $112.5^\circ + 67.5^\circ = 180^\circ$. Условие выполняется.

Ответ: $67.5^\circ$ и $112.5^\circ$.

б) их разность равна 35°;

Согласно условию, разность между углами составляет $35^\circ$. Пусть $\alpha$ — больший угол, а $\beta$ — меньший. Тогда их разность можно записать как $\alpha - \beta = 35^\circ$.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha - \beta = 35^\circ \end{cases}$

Для решения этой системы удобно сложить оба уравнения. Это позволит нам исключить переменную $\beta$:

$(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 180^\circ + 35^\circ$

$2\alpha = 215^\circ$

$\alpha = \frac{215^\circ}{2} = 107.5^\circ$

Теперь, зная $\alpha$, найдем $\beta$ из первого уравнения:

$107.5^\circ + \beta = 180^\circ$

$\beta = 180^\circ - 107.5^\circ = 72.5^\circ$

Проверка: $107.5^\circ + 72.5^\circ = 180^\circ$ и $107.5^\circ - 72.5^\circ = 35^\circ$. Оба условия выполняются.

Ответ: $72.5^\circ$ и $107.5^\circ$.