Номер 81, страница 27 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 6. Перпендикулярные прямые. Глава 1. Начальные геометрические сведения - номер 81, страница 27.

81 Отрезок длины m разделён:

а) на три равные части;

б) на пять равных частей.

Найдите расстояние между серединами крайних частей.

а) Исходный отрезок имеет длину $m$. Его разделили на три равные части. Длина каждой такой части равна $\frac{m}{3}$.
Крайними частями являются первая и третья. Нам нужно найти расстояние между их серединами.
Представим отрезок на числовой прямой, где его начало в точке 0, а конец в точке $m$.
Точки деления будут находиться в $\frac{m}{3}$ и $\frac{2m}{3}$.
Первая часть — это отрезок от 0 до $\frac{m}{3}$. Её середина находится в точке $C_1 = \frac{0 + \frac{m}{3}}{2} = \frac{m}{6}$.
Третья (последняя) часть — это отрезок от $\frac{2m}{3}$ до $m$. Её середина находится в точке $C_2 = \frac{\frac{2m}{3} + m}{2} = \frac{\frac{5m}{3}}{2} = \frac{5m}{6}$.
Расстояние между серединами крайних частей равно разности их координат:
$L = C_2 - C_1 = \frac{5m}{6} - \frac{m}{6} = \frac{4m}{6} = \frac{2m}{3}$.
Также можно рассуждать иначе: искомое расстояние складывается из половины длины первого отрезка, полной длины среднего (второго) отрезка и половины длины третьего отрезка.
$L = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{m}{3}\right) + \frac{m}{3} + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{m}{3}\right) = \frac{m}{6} + \frac{m}{3} + \frac{m}{6} = \frac{m + 2m + m}{6} = \frac{4m}{6} = \frac{2m}{3}$.
Ответ: $\frac{2m}{3}$.

б) Исходный отрезок имеет длину $m$. Его разделили на пять равных частей. Длина каждой такой части равна $\frac{m}{5}$.
Крайними частями являются первая и пятая. Нам нужно найти расстояние между их серединами.
Представим отрезок на числовой прямой от 0 до $m$.
Первая часть — это отрезок от 0 до $\frac{m}{5}$. Её середина находится в точке $C_1 = \frac{0 + \frac{m}{5}}{2} = \frac{m}{10}$.
Пятая (последняя) часть — это отрезок от $\frac{4m}{5}$ до $m$. Её середина находится в точке $C_2 = \frac{\frac{4m}{5} + m}{2} = \frac{\frac{9m}{5}}{2} = \frac{9m}{10}$.
Расстояние между серединами крайних частей равно разности их координат:
$L = C_2 - C_1 = \frac{9m}{10} - \frac{m}{10} = \frac{8m}{10} = \frac{4m}{5}$.
Также можно рассуждать иначе: искомое расстояние складывается из половины длины первого отрезка, полных длин трех средних отрезков (второго, третьего, четвертого) и половины длины пятого отрезка.
$L = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{m}{5}\right) + \left(3 \cdot \frac{m}{5}\right) + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{m}{5}\right) = \frac{m}{10} + \frac{3m}{5} + \frac{m}{10} = \frac{m + 6m + m}{10} = \frac{8m}{10} = \frac{4m}{5}$.
Ответ: $\frac{4m}{5}$.