Номер 76, страница 27 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 6. Перпендикулярные прямые. Глава 1. Начальные геометрические сведения - номер 76, страница 27.

76 Даны четыре прямые, каждые две из которых пересекаются. Сколько точек пересечения имеют эти прямые, если через каждую точку пересечения проходят только две прямые?

Для решения этой задачи необходимо определить, сколько уникальных точек пересечения могут образовать четыре прямые при заданных условиях.

Условия задачи:
1. Каждые две прямые пересекаются. Это означает, что среди четырех прямых нет ни одной пары параллельных прямых.
2. Через каждую точку пересечения проходят только две прямые. Это означает, что никакие три (или четыре) прямые не пересекаются в одной и той же точке. Каждая точка пересечения определяется уникальной парой прямых.

Из этих условий следует, что количество точек пересечения равно количеству уникальных пар прямых, которые можно составить из четырех данных прямых. Эта задача сводится к нахождению числа сочетаний из 4 элементов по 2.

Общая формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ выглядит так:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае:
– общее количество прямых $n = 4$;
– количество прямых, образующих одну точку пересечения $k = 2$.

Подставляем значения в формулу:
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \cdot (2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$

Также можно решить задачу последовательным подсчетом:
– Первая прямая пересекает три другие, что дает 3 точки пересечения.
– Вторая прямая пересекает две оставшиеся (ее пересечение с первой уже посчитано), что дает 2 новые точки.
– Третья прямая пересекает последнюю оставшуюся прямую (ее пересечения с первой и второй уже посчитаны), что дает 1 новую точку.
– Четвертая прямая уже имеет учтенные пересечения со всеми тремя другими прямыми.

Суммируя количество точек, получаем: $3 + 2 + 1 = 6$.

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 6 точек пересечения.