Страница 11 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

12 Начертите три неразвёрнутых угла и обозначьте их так: ∠AOB, ∠hk, ∠M.

Неразвёрнутый угол — это угол, градусная мера которого не равна $180^\circ$. Его стороны не лежат на одной прямой. Задача состоит в том, чтобы начертить три таких угла и обозначить их тремя разными способами.

?AOB

Это обозначение угла с помощью трёх заглавных букв. Буква в середине (O) всегда обозначает вершину угла, а две крайние буквы (A и B) — точки, лежащие на его сторонах (лучах).
Для построения необходимо:
1. Отметить точку O, которая будет вершиной.
2. Провести из точки O два луча — OA и OB.
Получившаяся фигура является углом ?AOB. Начертим, например, острый угол.

Ответ: Начерчен угол ?AOB с вершиной в точке O и сторонами OA и OB.

?hk

Это обозначение угла с помощью двух строчных латинских букв. Каждая буква (h и k) обозначает одну из сторон угла.
Для построения необходимо:
1. Провести луч h и луч k из одной общей точки (вершины).
Угол между этими лучами и будет углом ?hk. Начертим, например, тупой угол.

Ответ: Начерчен угол ?hk, образованный лучами h и k, исходящими из общей вершины.

?M

Это обозначение угла с помощью одной заглавной буквы. Эта буква (M) обозначает вершину угла. Такой способ обозначения можно использовать только в том случае, если из данной вершины исходит только один угол и нет риска перепутать его с другим.
Для построения необходимо:
1. Отметить точку M, которая будет вершиной.
2. Провести из точки M два луча.
Полученный угол и будет углом ?M. Начертим, например, прямой угол.

Ответ: Начерчен угол ?M с вершиной в точке M.

13 Начертите два развёрнутых угла и обозначьте их буквами.

Развёрнутый угол — это угол, стороны которого являются дополнительными лучами, то есть лежат на одной прямой. Градусная мера развёрнутого угла по определению равна $180^\circ$.

Для того чтобы начертить развёрнутый угол, необходимо провести прямую линию и отметить на ней точку, которая будет служить вершиной угла. Эта точка разделит прямую на два луча, направленных в противоположные стороны, которые и образуют развёрнутый угол.

Первый развёрнутый угол

Начертим прямую. Выберем на ней произвольную точку $O$ — это будет вершина нашего угла. На лучах, исходящих из точки $O$ в противоположные стороны, отметим точки $A$ и $B$. В результате мы получим развёрнутый угол $AOB$.

Построенный угол обозначается как $\angle AOB$ (или $\angle BOA$).

Второй развёрнутый угол

Аналогично построим второй развёрнутый угол. Проведём прямую, отметим на ней вершину $K$. На сторонах угла, которые являются лучами, исходящими из точки $K$, отметим точки $M$ и $N$.

Этот угол мы обозначим как $\angle MKN$ (или $\angle NKM$).

Ответ: В соответствии с заданием были начерчены и обозначены два развёрнутых угла: $\angle AOB$ и $\angle MKN$. Чертежи представлены выше.

14 Начертите три луча h, k и l с общим началом. Назовите все углы, образованные данными лучами.

Начертите три луча h, k и l с общим началом.

Для решения первой части задачи представим себе плоскость. На этой плоскости выберем произвольную точку, которая будет общим началом для всех лучей. Обозначим эту точку заглавной латинской буквой $O$. Из точки $O$ проведем три луча в разных направлениях. Согласно условию, назовем эти лучи строчными латинскими буквами $h, k$ и $l$. В результате мы получим чертеж, где из одной точки $O$ исходят три луча: $h, k, l$.

Назовите все углы, образованные данными лучами.

Угол — это геометрическая фигура, которая состоит из точки (вершины угла) и двух лучей (сторон угла), выходящих из этой точки. В нашей задаче вершиной всех углов является точка $O$. Сторонами углов являются лучи $h, k$ и $l$. Чтобы найти и назвать все углы, нужно рассмотреть все возможные пары лучей, выходящих из точки $O$.

Составим все возможные пары из трех лучей ($h, k, l$):
1. Лучи $h$ и $k$. Они образуют угол, который можно обозначить как $\angle(hk)$ или $\angle kh$.
2. Лучи $h$ и $l$. Они образуют угол, который можно обозначить как $\angle(hl)$ или $\angle lh$.
3. Лучи $k$ и $l$. Они образуют угол, который можно обозначить как $\angle(kl)$ или $\angle lk$.

Таким образом, три луча с общим началом образуют три различных угла (при условии, что лучи не совпадают).
Ответ: Углы, образованные данными лучами: $\angle(hk)$, $\angle(hl)$ и $\angle(kl)$.

15 Начертите неразвёрнутый угол hk. Отметьте две точки внутри этого угла, две точки вне этого угла и две точки на сторонах угла.

Для решения задачи выполним последовательно все требуемые действия.

Начертите неразвёрнутый угол hk

Неразвёрнутый угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки (вершины угла), и градусная мера которой не равна $180^\circ$. Начертим такой угол, обозначив его стороны лучами $h$ и $k$, а вершину — точкой O. Угол обозначается как $\angle(hk)$.

Далее, на этом же чертеже, отметим требуемые точки.

Отметьте две точки внутри этого угла

Точка считается лежащей внутри угла, если она находится в области плоскости, ограниченной лучами этого угла. Отметим две такие точки и назовём их A и B.

Отметьте две точки вне этого угла

Точка лежит вне угла, если она не принадлежит ни самому углу (его сторонам), ни внутренней его области. Отметим две такие точки и назовём их C и D.

Отметьте две точки на сторонах угла

Точка лежит на стороне угла, если она принадлежит одному из лучей, образующих угол. Отметим точку E на стороне $h$ и точку F на стороне $k$.

Итоговый чертёж, на котором выполнены все условия задачи:

На чертеже синим цветом обозначены точки A и B (внутри угла), красным — точки C и D (вне угла), а зелёным — точки E и F (на сторонах угла).

Ответ: Чертёж, удовлетворяющий всем условиям задачи, представлен выше. На нём изображён неразвёрнутый угол $\angle(hk)$ с вершиной в точке О, отмечены точки A и B внутри него, точки C и D вне него, и точки E и F на его сторонах.

16 Начертите неразвёрнутый угол. Отметьте точки А, В, М и N так, чтобы все точки отрезка AB лежали внутри угла, а все точки отрезка MN лежали вне угла.

Для выполнения этого задания необходимо произвести построение на плоскости в несколько шагов.

1. Начертить неразвёрнутый угол.

Сначала построим неразвёрнутый угол. Неразвёрнутым называется угол, градусная мера которого больше $0^\circ$ и меньше $180^\circ$. Для этого начертим два луча, выходящих из одной точки, которую назовём вершиной угла и обозначим буквой $O$.

2. Отметить точки A, B, M и N согласно условию.

Далее нужно расположить отрезки $AB$ и $MN$.

Отрезок AB: Условие требует, чтобы все точки отрезка $AB$ лежали внутри угла. Внутренняя область угла — это часть плоскости, заключённая между его сторонами. Чтобы выполнить это условие, мы должны выбрать обе конечные точки, $A$ и $B$, в этой внутренней области. Так как эта область является выпуклой, то и весь отрезок $AB$, соединяющий эти точки, будет полностью лежать внутри угла.

Отрезок MN: Условие требует, чтобы все точки отрезка $MN$ лежали вне угла. Внешняя область угла — это вся остальная часть плоскости. Мы должны разместить точки $M$ и $N$ в этой внешней области так, чтобы отрезок, соединяющий их, не пересекал ни стороны угла, ни его внутреннюю область.

Ниже представлен чертёж, иллюстрирующий результат выполнения всех условий.

Ответ:

На представленном выше чертеже выполнены все условия задачи: построен неразвёрнутый угол с вершиной в точке $O$, отрезок $AB$ (синий) полностью лежит внутри угла, а отрезок $MN$ (красный) полностью лежит вне угла.

17 Начертите неразвёрнутый угол AOB и проведите: а) луч ОС, который делит угол AOB на два угла; б) луч OD, который не делит угол АОС на два угла.

Сначала начертим неразвёрнутый угол $AOB$. Неразвёрнутым называется угол, градусная мера которого больше $0^\circ$ и меньше $180^\circ$. Угол $AOB$ имеет вершину в точке $O$ и стороны, образованные лучами $OA$ и $OB$.

а) Проведём луч $OC$, который делит угол $AOB$ на два угла. Чтобы луч делил угол, он должен исходить из вершины угла и проходить между его сторонами. Таким образом, мы проводим луч $OC$ из вершины $O$ так, что он оказывается между лучами $OA$ и $OB$. В результате угол $AOB$ разделяется на два смежных угла: $\angle AOC$ и $\angle COB$. Согласно основному свойству измерения углов, градусная мера исходного угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разделен: $\angle AOB = \angle AOC + \angle COB$.
Ответ: Луч $OC$ проведён из вершины $O$ между лучами $OA$ и $OB$.

б) Теперь проведём луч $OD$, который не делит угол $AOC$ на два угла. Угол $AOC$ образован лучами $OA$ и $OC$. Чтобы луч $OD$ не делил этот угол, он не должен проходить в его внутренней области, то есть между лучами $OA$ и $OC$. Мы можем провести луч $OD$ так, чтобы он лежал вне угла $AOC$. Например, можно провести луч $OD$ между лучами $OC$ и $OB$. В этом случае луч $OD$ будет делить угол $COB$, но не будет делить угол $AOC$, что соответствует условию задачи. Другой вариант — провести луч $OD$ так, чтобы он совпадал с лучом $OA$ или $OC$.
Ответ: Луч $OD$ проведён из вершины $O$ так, что он не проходит между лучами $OA$ и $OC$ (например, расположен между лучами $OC$ и $OB$).

Итоговый чертёж, иллюстрирующий решение:

18 Сколько неразвёрнутых углов образуется при пересечении двух прямых?

При пересечении двух различных прямых на плоскости в одной точке образуются четыре угла. Давайте разберемся, какие это углы и почему они являются неразвёрнутыми.

Пусть две прямые пересекаются в точке О. Они образуют четыре луча, выходящих из этой точки. Эти лучи попарно образуют четыре угла, которые мы можем обозначить как $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$ и $\angle 4$.

Развёрнутый угол — это угол, стороны которого являются противоположными лучами одной прямой, и его градусная мера составляет $180^\circ$. Неразвёрнутый угол — это любой угол, градусная мера которого не равна $180^\circ$. В контексте данной задачи, речь идет об углах, меньших $180^\circ$.

Рассмотрим свойства углов, образовавшихся при пересечении прямых:

1. Смежные углы: Любые два соседних угла являются смежными. Например, $\angle 1$ и $\angle 2$ — смежные. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$, то есть $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.
2. Вертикальные углы: Углы, расположенные друг напротив друга, называются вертикальными. Например, $\angle 1$ и $\angle 3$ — вертикальные. Вертикальные углы равны: $\angle 1 = \angle 3$ и $\angle 2 = \angle 4$.

Так как прямые пересекаются (а не совпадают), то ни один из образовавшихся углов не может быть равен $0^\circ$. Из свойства смежных углов ($\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$) следует, что ни один из них не может быть равен $180^\circ$. Если бы, например, $\angle 1 = 180^\circ$, то $\angle 2$ должен был бы быть равен $0^\circ$, что означало бы, что прямые совпадают, а не пересекаются.

Таким образом, каждый из четырёх углов ($\angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4$) имеет градусную меру строго больше $0^\circ$ и строго меньше $180^\circ$. Следовательно, все четыре угла являются неразвёрнутыми.

Ответ: 4

19 Какие из точек, изображённых на рисунке 22, лежат внутри угла hk, а какие — вне этого угла?

Для того чтобы определить, какие точки лежат внутри угла, а какие вне его, необходимо понять, что такое внутренняя область угла. Внутренняя область угла — это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, исходящими из одной точки (вершины угла). Точка лежит внутри угла, если она находится в этой области. Все остальные точки, не принадлежащие самому углу (его лучам и вершине) или его внутренней области, лежат вне угла. В данном случае, угол образован лучами h и k с общей вершиной в точке O. Этот угол можно обозначить как $\angle hk$.

Точки, лежащие внутри угла $hk$

Точка считается лежащей внутри угла, если она находится в плоской фигуре, ограниченной лучами этого угла. На рисунке 22 видно, что только одна точка удовлетворяет этому условию.
Это точка А. Она расположена между лучами h и k.

Ответ: точка А.

Точки, лежащие вне угла $hk$

Точки лежат вне угла, если они не находятся в его внутренней области.
Точки M и N очевидно находятся за пределами области, ограниченной лучами h и k.
Точки B, C и D лежат на самих лучах, которые образуют угол. Точки, принадлежащие сторонам угла, по определению не считаются лежащими внутри него. Поскольку вопрос предполагает разделение всех точек на две группы (внутри или вне), то точки, лежащие на сторонах угла, мы относим к тем, что лежат вне его внутренней области.
Таким образом, вне угла $hk$ лежат точки M, N, B, C и D.

Ответ: точки M, N, B, C, D.

20 Какие из лучей, изображённых на рисунке 23, делят угол AOB на два угла?

Чтобы луч делил угол на два других угла, он должен исходить из вершины этого угла и проходить между его сторонами. В данной задаче рассматривается угол $AOB$ с вершиной в точке $O$ и сторонами, являющимися лучами $OA$ и $OB$.

Проанализируем все лучи, исходящие из вершины $O$:

Лучи $l$ и $h$ проходят внутри угла $AOB$, то есть между его сторонами. Луч $l$ делит угол $AOB$ на два угла: $?AOl$ и $?lOB$. Аналогично, луч $h$ делит угол $AOB$ на два угла: $?AOh$ и $?hOB$.

Лучи $k$, $m$ и $n$ не проходят между сторонами угла $AOB$, поэтому они не делят его на два угла.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют только лучи $l$ и $h$.

Ответ: лучи $l$ и $h$.