Номер 39, страница 18 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 4. Измерение отрезков. 8. Единицы измерения. Измерительные инструменты. Глава 1. Начальные геометрические сведения - номер 39, страница 18.

39 Лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если АС = 5 см, AB = 3 см, ВС = 4 см?

Решение

Если точки А, В и С лежат на одной прямой, то больший из отрезков AB, ВС и АС равен сумме двух других. По условию больший из данных отрезков (отрезок АС) равен 5 см, а сумма двух других (AB + ВС) равна 7 см. Поэтому точки А, В и С не лежат на одной прямой.

Решение

Основное свойство расположения трех точек на одной прямой (аксиома принадлежности точек прямой) гласит: из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Это означает, что если точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой, то длина наибольшего из отрезков $AB$, $BC$, $AC$ должна быть равна сумме длин двух других.

В условии задачи даны длины отрезков:

• $AC = 5$ см
• $AB = 3$ см
• $BC = 4$ см

Сравним длины отрезков, чтобы найти наибольший: $5 > 4$ и $5 > 3$. Следовательно, наибольший отрезок — это $AC$.

Теперь проверим, равна ли длина наибольшего отрезка сумме длин двух других отрезков. Если точки лежат на одной прямой, то точка $B$ должна находиться между точками $A$ и $C$, и должно выполняться равенство:
$AB + BC = AC$

Подставим числовые значения в левую часть равенства:
$AB + BC = 3 \text{ см} + 4 \text{ см} = 7 \text{ см}$

Теперь сравним полученный результат с длиной отрезка $AC$:
$7 \text{ см} \neq 5 \text{ см}$

Поскольку $AB + BC \neq AC$, условие принадлежности трех точек одной прямой не выполняется. Это означает, что точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой.

Стоит заметить, что данные длины сторон удовлетворяют теореме Пифагора: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$. То есть, $AB^2 + BC^2 = AC^2$. Это означает, что точки $A$, $B$ и $C$ являются вершинами прямоугольного треугольника с прямым углом при вершине $B$, что также доказывает, что они не лежат на одной прямой.

Ответ: нет, точки A, B и C не лежат на одной прямой.