Номер 102, страница 32 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Первый признак равенства треугольников. 15. Первый признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 102, страница 32.

102 Отрезки АС и BD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что △ABC = △CDA.

Пусть отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Согласно условию задачи, точка пересечения делит эти отрезки пополам. Это означает, что $AO = OC$ и $BO = OD$.

Рассмотрим треугольники $?AOB$ и $?COD$. В этих треугольниках:

• $AO = CO$ (по условию)
• $BO = DO$ (по условию)
• $?AOB = ?COD$ (как вертикальные углы)

Следовательно, $?AOB = ?COD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства этих треугольников следует, что их соответственные стороны равны, а именно $AB = CD$.

Аналогично рассмотрим треугольники $?BOC$ и $?DOA$. В них:

• $BO = DO$ (по условию)
• $CO = AO$ (по условию)
• $?BOC = ?DOA$ (как вертикальные углы)

Следовательно, $?BOC = ?DOA$ также по первому признаку равенства треугольников. Из этого следует равенство их соответственных сторон: $BC = DA$.

Теперь мы можем доказать равенство треугольников $?ABC$ и $?CDA$. Сравним эти два треугольника:

• $AB = CD$ (как доказано ранее)
• $BC = DA$ (как доказано ранее)
• $AC$ — общая сторона

Таким образом, три стороны треугольника $?ABC$ соответственно равны трем сторонам треугольника $?CDA$. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $?ABC = ?CDA$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $?ABC$ и $?CDA$ доказано на основе признака равенства треугольников по трем сторонам (SSS), предварительно установив равенство сторон $AB=CD$ и $BC=DA$ через рассмотрение пар треугольников $?AOB, ?COD$ и $?BOC, ?DOA$.