Номер 109, страница 37 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. 18. Свойства равнобедренного треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 109, страница 37.

109 Начертите три равнобедренных треугольника так, чтобы угол, лежащий против основания, был:
а) острым; б) прямым; в) тупым.

а)

Чтобы начертить равнобедренный треугольник, у которого угол, лежащий против основания, является острым, необходимо, чтобы его градусная мера была больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB=BC$ — боковые стороны, а $AC$ — основание. Угол, лежащий против основания, — это угол $\angle B$. Углы при основании $\angle A$ и $\angle C$ равны. Сумма углов треугольника составляет $180^\circ$, следовательно, $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Учитывая, что $\angle A = \angle C$, получаем $2\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Выберем для угла $\angle B$ любое острое значение, например, $\angle B = 60^\circ$. В этом случае треугольник будет равносторонним, что является частным случаем равнобедренного.

Найдем углы при основании: $\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Для построения такого треугольника можно начертить отрезок $AC$ (основание), а затем от его концов отложить два угла по $60^\circ$. Точка пересечения их сторон будет вершиной $B$.

Ответ: Пример такого треугольника — равносторонний треугольник с углами $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$. Угол $60^\circ$, лежащий против основания, является острым.

б)

Чтобы начертить равнобедренный треугольник, у которого угол, лежащий против основания, является прямым, его градусная мера должна быть равна $90^\circ$.

Пусть в равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ угол при вершине $\angle B = 90^\circ$. Такой треугольник называется прямоугольным равнобедренным треугольником.

Найдем углы при основании $\angle A$ и $\angle C$:

$\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Для построения такого треугольника необходимо:

1. Начертить прямой угол с вершиной в точке $B$.
2. На сторонах угла отложить два равных отрезка $BA$ и $BC$.
3. Соединить точки $A$ и $C$.

Получится прямоугольный равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB$ и $BC$ — катеты, а $AC$ — гипотенуза и основание.

Ответ: Пример такого треугольника — прямоугольный равнобедренный треугольник с углами $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$. Угол $90^\circ$, лежащий против основания, является прямым.

в)

Чтобы начертить равнобедренный треугольник, у которого угол, лежащий против основания, является тупым, его градусная мера должна быть больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$.

Пусть в равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ угол при вершине $\angle B$ — тупой. Выберем для него значение, например, $\angle B = 120^\circ$.

Найдем углы при основании $\angle A$ и $\angle C$:

$\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Для построения такого треугольника необходимо:

1. Начертить тупой угол $\angle B = 120^\circ$.
2. На сторонах угла отложить от вершины $B$ два равных отрезка $BA$ и $BC$.
3. Соединить точки $A$ и $C$.

Получится тупоугольный равнобедренный треугольник $ABC$.

Ответ: Пример такого треугольника — тупоугольный равнобедренный треугольник с углами $120^\circ, 30^\circ, 30^\circ$. Угол $120^\circ$, лежащий против основания, является тупым.