Номер 103, страница 32 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Первый признак равенства треугольников. 15. Первый признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 103, страница 32.

103 В треугольниках ABC и А₁В₁С₁ AB = А₁В₁, AC = А₁С₁, ∠A = ∠A₁. На сторонах AB и А₁В₁ отмечены точки Р и P₁ так, что АР = А₁Р₁. Докажите, что △BРС = △В₁Р₁С₁.

Докажите, что $\triangle BPC = \triangle B_1P_1C_1$

Для доказательства равенства треугольников $\triangle BPC$ и $\triangle B_1P_1C_1$ воспользуемся методом пошагового вывода на основе данных из условия задачи.

1. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. По условию задачи, у них равны две стороны и угол между ними:
- $AB = A_1B_1$
- $AC = A_1C_1$
- $\angle A = \angle A_1$
Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

2. Из равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ следует равенство их соответствующих сторон и углов. Для дальнейшего доказательства нам понадобятся следующие равенства:
- $BC = B_1C_1$
- $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$ (или, для краткости, $\angle B = \angle B_1$)

3. Рассмотрим отрезки $BP$ и $B_1P_1$. Точка $P$ лежит на стороне $AB$, а точка $P_1$ — на стороне $A_1B_1$. Длины этих отрезков можно найти как разность длин отрезков:
$BP = AB - AP$
$B_1P_1 = A_1B_1 - A_1P_1$
Так как по условию $AB = A_1B_1$ и $AP = A_1P_1$, то, вычитая из равных величин равные, мы получаем, что $BP = B_1P_1$.

4. Теперь мы можем сравнить элементы треугольников $BPC$ и $B_1P_1C_1$:
- $BP = B_1P_1$ (доказано в п. 3).
- $BC = B_1C_1$ (доказано в п. 2).
- $\angle PBC = \angle P_1B_1C_1$ (так как это углы $\angle B$ и $\angle B_1$, равенство которых доказано в п. 2).
Таким образом, в треугольниках $BPC$ и $B_1P_1C_1$ две стороны и угол между ними соответственно равны. По первому признаку равенства треугольников, $\triangle BPC = \triangle B_1P_1C_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство $\triangle BPC = \triangle B_1P_1C_1$ следует из первого признака равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), так как $BC = B_1C_1$ и $\angle B = \angle B_1$ (из равенства $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$), а $BP = B_1P_1$ (как разность равных отрезков).