Номер 101, страница 32 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Первый признак равенства треугольников. 15. Первый признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 101, страница 32.

101 На рисунке 60 OA=OD, OB=OC, ∠1=74°, ∠2=36°.

а) Докажите, что треугольники AOB и DOC равны;

б) найдите угол ACD.

а)

Рассмотрим треугольники $AOB$ и $DOC$. По условию задачи нам дано, что стороны $OA = OD$ и $OB = OC$. Углы $\angle AOB$ и $\angle DOC$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $AC$ и $BD$. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle AOB = \angle DOC$.

Таким образом, в треугольниках $AOB$ и $DOC$ имеются две соответственно равные стороны ($OA = OD$, $OB = OC$) и равный угол между ними ($\angle AOB = \angle DOC$).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle AOB \cong \triangle DOC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $AOB$ и $DOC$ доказано.

б)

Из равенства треугольников $AOB$ и $DOC$, доказанного в пункте а), следует, что их соответственные углы равны. Угол $\angle OCD$ в треугольнике $DOC$ соответствует углу $\angle OBA$ в треугольнике $AOB$.

Следовательно, $\angle OCD = \angle OBA$.

По условию задачи $\angle 1 = 74^\circ$. Из рисунка видно, что $\angle 1$ это угол $\angle OBA$. Таким образом, $\angle OBA = 74^\circ$.

Отсюда получаем, что $\angle OCD = 74^\circ$.

Поскольку точки $A, O, C$ лежат на одной прямой, угол $\angle ACD$ является тем же углом, что и $\angle OCD$.

Значит, искомый угол $\angle ACD = 74^\circ$.

(Информация о том, что $\angle 2 = 36^\circ$, является избыточной для решения задачи и, вероятно, содержит ошибку, поскольку на чертеже $\angle 2$ обозначает искомый угол $\angle ACD$, значение которого однозначно определяется из других условий.)

Ответ: $74^\circ$.