Номер 120, страница 38 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. 18. Свойства равнобедренного треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 120, страница 38.

120 Медиана AM треугольника ABC равна отрезку ВМ. Докажите, что один из углов треугольника ABC равен сумме двух других углов.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи, отрезок $AM$ является медианой, проведенной к стороне $BC$. По определению медианы, точка $M$ делит сторону $BC$ пополам, следовательно, $BM = MC$.

В условии также сказано, что медиана $AM$ равна отрезку $BM$, то есть $AM = BM$.

Объединив эти два равенства, мы получаем, что три отрезка равны между собой: $AM = BM = MC$.

Это равенство позволяет нам рассмотреть два равнобедренных треугольника внутри исходного треугольника $ABC$.

1. Треугольник $ABM$. В этом треугольнике стороны $AM$ и $BM$ равны ($AM = BM$), значит, он является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle BAM = \angle ABM$. Обозначим величину этих углов как $\alpha$. Таким образом, $\angle B = \angle ABM = \alpha$ и $\angle BAM = \alpha$.

2. Треугольник $AMC$. В этом треугольнике стороны $AM$ и $MC$ равны ($AM = MC$), значит, он также является равнобедренным, но с основанием $AC$. Следовательно, углы при основании $AC$ равны: $\angle MAC = \angle ACM$. Обозначим величину этих углов как $\beta$. Таким образом, $\angle C = \angle ACM = \beta$ и $\angle MAC = \beta$.

Теперь рассмотрим углы исходного треугольника $ABC$:

• Угол при вершине $A$ ($\angle BAC$) является суммой углов $\angle BAM$ и $\angle MAC$. Таким образом, $\angle A = \angle BAM + \angle MAC = \alpha + \beta$.
• Угол при вершине $B$ ($\angle ABC$) равен $\angle ABM$, то есть $\angle B = \alpha$.
• Угол при вершине $C$ ($\angle ACB$) равен $\angle ACM$, то есть $\angle C = \beta$.

Сравним угол $A$ с суммой углов $B$ и $C$.

Сумма углов $B$ и $C$ равна: $\angle B + \angle C = \alpha + \beta$.

Мы видим, что величина угла $A$ также равна $\alpha + \beta$.

Следовательно, мы доказали, что $\angle A = \angle B + \angle C$, то есть один из углов треугольника $ABC$ равен сумме двух других углов, что и требовалось доказать.

Дополнительное замечание: из теоремы о сумме углов треугольника мы знаем, что $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Подставив в это равенство $\angle A = \angle B + \angle C$, получим $\angle A + \angle A = 180^\circ$, или $2\angle A = 180^\circ$, откуда $\angle A = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $ABC$ является прямоугольным, а медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Ответ: Доказано, что угол треугольника при вершине $A$ ($\angle BAC$) равен сумме двух других его углов ($\angle ABC + \angle ACB$).