Номер 119, страница 38 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. 18. Свойства равнобедренного треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 119, страница 38.

119 Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведённые к равным сторонам, равны.

Пусть даны два равных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Из условия равенства треугольников ($\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$) следует равенство их соответствующих сторон и углов: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$, и $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$.

Проведём медиану $BM$ к стороне $AC$ в треугольнике $\triangle ABC$ и медиану $B_1M_1$ к соответствующей равной ей стороне $A_1C_1$ в треугольнике $\triangle A_1B_1C_1$. Наша задача — доказать, что $BM = B_1M_1$.

По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AC$, а точка $M_1$ — серединой стороны $A_1C_1$. Следовательно, $AM = \frac{1}{2}AC$ и $A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$.

Поскольку по условию $AC = A_1C_1$, то равны и их половины: $AM = A_1M_1$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$. Сравним их элементы:
1. Сторона $AB$ равна стороне $A_1B_1$ (как соответствующие стороны равных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$).
2. Сторона $AM$ равна стороне $A_1M_1$ (как было показано выше).
3. Угол $\angle A$ равен углу $\angle A_1$ (как соответствующие углы равных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$).

Таким образом, треугольник $\triangle ABM$ равен треугольнику $\triangle A_1B_1M_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$ следует, что их соответствующие стороны равны. В частности, сторона $BM$ треугольника $\triangle ABM$ равна соответствующей стороне $B_1M_1$ треугольника $\triangle A_1B_1M_1$. Следовательно, $BM = B_1M_1$.

Ответ: Утверждение доказано. В равных треугольниках медианы, проведённые к равным сторонам, равны.