Номер 123, страница 38 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. 18. Свойства равнобедренного треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 123, страница 38.

123 На основании ВС равнобедренного треугольника ABC отмечены точки М и N так, что ВМ = CN. Докажите, что:

а) △ВАМ = △CAN;

б) треугольник AMN равнобедренный.

По условию задачи, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$. По свойству равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны ($AB = AC$), а углы при основании равны ($\angle ABC = \angle ACB$).

а)

Рассмотрим треугольники $\triangle BAM$ и $\triangle CAN$.

В этих треугольниках:

1. $AB = AC$, так как $\triangle ABC$ — равнобедренный.

2. $BM = CN$ по условию задачи.

3. $\angle ABM = \angle ACN$ (или $\angle B = \angle C$) как углы при основании равнобедренного треугольника.

Следовательно, треугольники $\triangle BAM$ и $\triangle CAN$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: Равенство $\triangle BAM = \triangle CAN$ доказано.

б)

Из равенства треугольников $\triangle BAM = \triangle CAN$, доказанного в пункте а), следует равенство их соответствующих элементов.

В частности, сторона $AM$ треугольника $\triangle BAM$ равна соответствующей ей стороне $AN$ треугольника $\triangle CAN$. Таким образом, получаем, что $AM = AN$.

Согласно определению, треугольник является равнобедренным, если две его стороны равны. Поскольку в треугольнике $AMN$ стороны $AM$ и $AN$ равны, он является равнобедренным.

Ответ: Доказано, что треугольник $AMN$ является равнобедренным.