Номер 257, страница 75 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 34. Неравенство треугольника - номер 257, страница 75.

Условие.

257 Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 74 см, а одна из сторон равна 16 см. Найдите две другие стороны треугольника.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть дан треугольник. По свойству смежных углов, внешний угол треугольника при некоторой вершине и внутренний угол при той же вершине в сумме дают $180^\circ$.

Пусть внутренние углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Тогда соответствующие им внешние углы равны $180^\circ - \alpha$, $180^\circ - \beta$ и $180^\circ - \gamma$.

По условию, два внешних угла при разных вершинах равны. Предположим, что равны внешние углы при вершинах с внутренними углами $\alpha$ и $\beta$. Тогда мы можем записать равенство: $180^\circ - \alpha = 180^\circ - \beta$

Вычитая $180^\circ$ из обеих частей уравнения, получаем: $-\alpha = -\beta$, что эквивалентно $\alpha = \beta$.

Согласно свойству равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то этот треугольник является равнобедренным. Стороны, противолежащие равным углам, также равны. Таким образом, мы установили, что данный треугольник — равнобедренный.

Теперь рассмотрим вторую часть условия. Периметр треугольника равен 74 см, а одна из его сторон равна 16 см. В равнобедренном треугольнике две стороны равны (боковые), а третья может иметь другую длину (основание). Это приводит к двум возможным случаям.

Случай 1: Известная сторона (16 см) является основанием треугольника.

В этом случае две другие (боковые) стороны равны друг другу. Обозначим их длину как $a$. Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон: $P = a + a + 16$ Подставим известное значение периметра: $74 = 2a + 16$ $2a = 74 - 16$ $2a = 58$ $a = 29$ см.

Мы получили треугольник со сторонами 16 см, 29 см, 29 см. Проверим, выполняется ли для него неравенство треугольника (сумма длин двух любых сторон должна быть больше третьей стороны):

• $29 + 29 > 16$ ($58 > 16$ — верно)
• $29 + 16 > 29$ ($45 > 29$ — верно)

Этот случай возможен.

Случай 2: Известная сторона (16 см) является боковой стороной.

В этом случае, так как треугольник равнобедренный, другая боковая сторона также равна 16 см. Третью сторону (основание) обозначим как $b$. Периметр треугольника: $P = 16 + 16 + b$ Подставим известное значение периметра: $74 = 32 + b$ $b = 74 - 32$ $b = 42$ см.

Мы получили треугольник со сторонами 16 см, 16 см, 42 см. Проверим для него неравенство треугольника: $16 + 16 > 42$ $32 > 42$ — неверно.

Треугольник с такими сторонами существовать не может, так как сумма двух его сторон меньше третьей.

Следовательно, единственно возможным является первый случай. Стороны треугольника равны 16 см, 29 см и 29 см. Так как одна сторона по условию равна 16 см, то две другие стороны равны 29 см и 29 см.

Ответ: две другие стороны треугольника равны 29 см и 29 см.