Номер 257, страница 75 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 34. Неравенство треугольника. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 257, страница 75.

257 Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 74 см, а одна из сторон равна 16 см. Найдите две другие стороны треугольника.

Пусть дан треугольник. По свойству смежных углов, внешний угол треугольника при некоторой вершине и внутренний угол при той же вершине в сумме дают $180^\circ$.

Пусть внутренние углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Тогда соответствующие им внешние углы равны $180^\circ - \alpha$, $180^\circ - \beta$ и $180^\circ - \gamma$.

По условию, два внешних угла при разных вершинах равны. Предположим, что равны внешние углы при вершинах с внутренними углами $\alpha$ и $\beta$. Тогда мы можем записать равенство: $180^\circ - \alpha = 180^\circ - \beta$

Вычитая $180^\circ$ из обеих частей уравнения, получаем: $-\alpha = -\beta$, что эквивалентно $\alpha = \beta$.

Согласно свойству равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то этот треугольник является равнобедренным. Стороны, противолежащие равным углам, также равны. Таким образом, мы установили, что данный треугольник — равнобедренный.

Теперь рассмотрим вторую часть условия. Периметр треугольника равен 74 см, а одна из его сторон равна 16 см. В равнобедренном треугольнике две стороны равны (боковые), а третья может иметь другую длину (основание). Это приводит к двум возможным случаям.

Случай 1: Известная сторона (16 см) является основанием треугольника.

В этом случае две другие (боковые) стороны равны друг другу. Обозначим их длину как $a$. Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон: $P = a + a + 16$ Подставим известное значение периметра: $74 = 2a + 16$ $2a = 74 - 16$ $2a = 58$ $a = 29$ см.

Мы получили треугольник со сторонами 16 см, 29 см, 29 см. Проверим, выполняется ли для него неравенство треугольника (сумма длин двух любых сторон должна быть больше третьей стороны):

• $29 + 29 > 16$ ($58 > 16$ — верно)
• $29 + 16 > 29$ ($45 > 29$ — верно)

Этот случай возможен.

Случай 2: Известная сторона (16 см) является боковой стороной.

В этом случае, так как треугольник равнобедренный, другая боковая сторона также равна 16 см. Третью сторону (основание) обозначим как $b$. Периметр треугольника: $P = 16 + 16 + b$ Подставим известное значение периметра: $74 = 32 + b$ $b = 74 - 32$ $b = 42$ см.

Мы получили треугольник со сторонами 16 см, 16 см, 42 см. Проверим для него неравенство треугольника: $16 + 16 > 42$ $32 > 42$ — неверно.

Треугольник с такими сторонами существовать не может, так как сумма двух его сторон меньше третьей.

Следовательно, единственно возможным является первый случай. Стороны треугольника равны 16 см, 29 см и 29 см. Так как одна сторона по условию равна 16 см, то две другие стороны равны 29 см и 29 см.

Ответ: две другие стороны треугольника равны 29 см и 29 см.