Номер 261, страница 79 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Прямоугольные треугольники. 36. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 261, страница 79.

261 Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник. Один из его углов по условию равен $90^\circ$, другой — $60^\circ$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому третий угол будет равен:

$180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$

Мы имеем дело с прямоугольным треугольником, острые углы которого равны $30^\circ$ и $60^\circ$.

В любом треугольнике напротив меньшего угла лежит меньшая сторона. В нашем случае наименьший угол равен $30^\circ$, следовательно, катет, противолежащий этому углу, является меньшим из двух катетов.

Существует важное свойство прямоугольного треугольника: катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.

Обозначим длину меньшего катета как a, а длину гипотенузы как c. Согласно свойству, мы можем записать следующее соотношение:

$a = \frac{c}{2}$

По условию задачи сумма гипотенузы и меньшего катета равна 26,4 см. Запишем это в виде уравнения:

$c + a = 26,4$

Теперь мы можем подставить выражение для a из первого уравнения во второе, чтобы найти гипотенузу c:

$c + \frac{c}{2} = 26,4$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{2c + c}{2} = 26,4$

$\frac{3c}{2} = 26,4$

Выразим c:

$3c = 26,4 \cdot 2$

$3c = 52,8$

$c = \frac{52,8}{3}$

$c = 17,6$ см.

Ответ: 17,6 см.