Номер 268, страница 79 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Прямоугольные треугольники. 36. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 268, страница 79.

268 Высоты, проведённые к боковым сторонам AB и АС остроугольного равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если ∠BMC = 140°.

Пусть в остроугольном равнобедренном треугольнике $ABC$ боковыми сторонами являются $AB$ и $AC$, а основанием — $BC$. Это означает, что $AB = AC$ и углы при основании равны: $\angle ABC = \angle ACB$.

Пусть $BE$ — высота, проведенная из вершины $B$ к стороне $AC$, и $CD$ — высота, проведенная из вершины $C$ к стороне $AB$. По определению высоты, $BE \perp AC$ и $CD \perp AB$. Следовательно, $\angle AEB = 90^\circ$ и $\angle ADC = 90^\circ$.

Высоты $BE$ и $CD$ пересекаются в точке $M$ по условию.

Рассмотрим четырехугольник $AEMD$. Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна $360^\circ$.

$\angle EAD + \angle ADM + \angle DME + \angle MEA = 360^\circ$

Разберем каждый угол в этом выражении:

• $\angle EAD$ — это и есть угол $\angle BAC$ треугольника $ABC$.
• $\angle ADM$ — это угол $\angle ADC$, который равен $90^\circ$, так как $CD$ — высота.
• $\angle MEA$ — это угол $\angle AEB$, который равен $90^\circ$, так как $BE$ — высота.
• Угол $\angle DME$ и угол $\angle BMC$ являются вертикальными, а значит, они равны. По условию задачи, $\angle BMC = 140^\circ$, следовательно, $\angle DME = 140^\circ$.

Теперь подставим найденные значения углов в формулу суммы углов четырехугольника $AEMD$:

$\angle BAC + 90^\circ + 140^\circ + 90^\circ = 360^\circ$

$\angle BAC + 320^\circ = 360^\circ$

Отсюда находим угол при вершине $A$:

$\angle BAC = 360^\circ - 320^\circ = 40^\circ$

Теперь, зная угол при вершине равнобедренного треугольника, найдем углы при основании. Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$:

$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$

Так как $\angle ABC = \angle ACB$, мы можем записать:

$40^\circ + 2 \cdot \angle ABC = 180^\circ$

$2 \cdot \angle ABC = 180^\circ - 40^\circ$

$2 \cdot \angle ABC = 140^\circ$

$\angle ABC = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ$

Таким образом, $\angle ABC = \angle ACB = 70^\circ$.

Мы нашли все углы треугольника: $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$. Все они меньше $90^\circ$, что соответствует условию об остроугольном треугольнике.

Ответ: углы треугольника равны $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$.